Приведем пример минимизации ноф
F
(X1,
X2,
X3)
=
+
Минтерм третьего ранга данной функции включают обязательные и безразличные наборы
1 2 3 4 5
1
2X3
+
1X2
3
+
1X2X3
+ X1
2
3
+ X1X2
3.
Образуем минтерм второго ранга
1
- 3
1X3
2
- 3
1X2
2
- 6 X2
3
4
- 6 X1
3
Конъюнкция неотмеченных членов образует СкДНФ НОФ
f
(X1X2X3)
=
1X3
+
1X2
+ X2
3
+ X1
3.
Для определения МДНФ исходной НОФ необходимо при построении импликантной матрицы учитывать обязательные наборы (Таблица 1.21).
Таблица 1.21
-
К
онституентыИмпликанты
1
2X3X1
2
3X1X2
3
1X3
1X2X2
3X1
3
МДНФ
= f (X1,
X2,
X3)
=
1X3
+ X1
3.
Импликанта X2X3 - лишняя.
Алгоритм получения минимальных КНФ двоичных функций может быть полностью подобен алгоритму получения МДНФ с той лишь разницей, что в качестве исходной должна быть СКНФ и при минимизации необходимо применять формулы склеивания и поглощения для конъюнкции.
1.8. Графический метод минимизации логической функции
Одним из возможных способов графического представления логических функций от небольшого числа переменных являются карты Карно. При большом числе переменных карты Карно теряют свое основное свойство - наглядность и становятся неэффективными.
Картами Карно можно пользоваться для упрощения структурных формул, задаваемых в виде как СДНФ, так и СКНФ.
Карты Карно (диаграммы Вейча) представляют собой преобразованные таблицы истинности, которые состоят из 2m-х клеток (m -число аргументов функции), каждая из которых соответствует определенному набору аргументов (определенной конституенте 1).
В клетках записывается либо 0, либо 1, в соответствии с тем, какие значения принимает функция на каждом наборе. Наличие 1 в клетке указывает, что соответствующая ей конституента единицы должна входить в СДНФ.
В диаграммах Вейча склеивающиеся между собой члены оказываются соседними, что позволяет их легко обнаруживать.
В таблице 1.22 приведена форма диаграммы Вейча для переключательных функций двух аргументов.
Таблица 1.22
|
X |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
YВ диаграммах Вейча для переключательных функций двух аргументов любая пара единиц, расположенных в соседних клетках, выражается одной буквой. Это обстоятельство используется для получения МДНФ или МКНФ. Обозначения клеток карт Карно показано в таблицах 1.23 и 1.24.
Таблица
1.23 Таблица 1.24
Пример. Даны функции F1 (X1, X2) = X1X2 + X1X2 + X1X2 и
F2 (X1, X2) = X1X2 + X1X2.
Диаграммы Вейча соответственно имеют вид (табл.1.25 и 1.26).
Таблица
1.25 Таблица 1.26
В таблице 1.25 можно провести два склеивания: одно - по столбцу и одно по строке. Минимальная форма этой функции будет
F1 (X1, X2) = X1 + X2.
Функция F не может быть упрощена, что подтверждается отсутствием в ее клетках соседних членов (таблица 1.26).
Диаграмма Вейча для переключательных функций трех аргументов приведена в таблице 1.27.
Таблица 1.27
Эти диаграммы следует представлять себе в виде цилиндра, образованного соединением первой и последней колонок. Тогда любая пара склеивающихся между собой конституент будет находиться в соседних клетках. При этом могут склеиваться две, четыре, восемь соседних единиц.
Пример. Найти минимальную ДНФ переключательной функции
f
(X1,
X2,
X3)
=
Т
аблица
1.28
В таблице 1.28 показан наиболее рациональный способ склеивания единиц. Минимальная дизъюнктивная нормальная форма при этом имеет вид:
f
(X1,
X2,
X3)
= X1X2
+
1
2
+
3.
Отыскание МДНФ сводится к определению варианта, при котором все единицы диаграммы Вейча данной функции накрываются наименьшим количеством коротких конъюнкций.
Диаграмма Вейча для переключательных функций четырех аргументов приведена в таблице 1.29. На этой диаграмме одной букве соответствует восемь единиц, расположенных в соседних клетках; произведению, включающему две переменные – четыре соседних единицы; произведению трех переменных - две и произведению четырех переменных - одна единица. Первую и последнюю колонки диаграммы, а также верхнюю и нижнюю строки следует считать соседними. Поэтому диаграмму Вейча для функции четырех аргументов следует представлять нанесенной на поверхность (таблица 1.29).
Т
аблица
1.29
Пример. Найти минимальную ДНФ переключательной функции
f
(X1,
X2,
X3,
X4)
= X1X2
3
4
+ X1X2X3
4
+
1X2X3
4
+
+
1X2
3X4
+
1
2X3X4
+ X1
2X3
4.
МДНФ имеет вид
f
(X1,
X2,
X3,
X4)
=
3X4
+ X1X2
3
+
1
2X4
+
1
2X3
4.
Диаграмма Вейча для переключательной функции пяти аргументов приведена в таблице 1.30. Карта содержит 32 клетки. Здесь для единицы (нуля), отмеченной звездочкой, соседними являются остальные единицы (нули).
Общее правило определения соседних клеток для карты Карно при пяти аргументах можно сформулировать следующим образом:
рассмотреть половину карты Карно, содержащей клетку, для которой определяются соседние;
в пределах этой половины определить соседние клетки так, как это делалось при четырех переменных;
во второй половине карты Карно найти клетку, которая накладывается на исходную при сдвиге всей карты относительно вертикальной оси симметрии, эта клетка также является соседней для исходной.
На этой диаграмме одной букве соответствует 16 единиц, расположенных в смежных клетках, произведению двух букв - восемь, трех букв - четыре, четырех - две и пяти - одна.
При работе с этой диаграммой следует помнить, что для букв X1, X2, X3, X4 “соседние” клетки оказываются разнесенными.
Таблица 1.30
Таблица 1.31
Карта Карно для функций шести переменных приведена в таблице 1.31. Как видно из таблицы, для каждой исходной клетки соседними будут шесть других различных клеток. На карте взяты две исходные клетки, отмеченные звездочками. В одну из них помещена единица, в другую - нуль. Соседними для каждой из этих клеток являются все остальные, в которые соответственно помещены единицы и нули. Метод отыскания соседних клеток подобен тому, который использовался при пяти переменных. Однако предварительно надо делить карту не на две, а на четыре части и определять соседние клетки относительно двух осей: вертикальной и горизонтальной.
МКНФ получается аналогично за исключением того, что следует объединить (склеивать) нули переключательной функции и в результате склеивания получаются простые имплиценты. При этом каждая простая имплицента образуется из дизъюнкции общих аргументов склеиваемых нулей, взятых с отрицанием.
Пример. Найти МКНФ функции
f
(X1,
X2,
X3)
= X1
2X3
+ X1X2
3
+
1
2
3
+
1
2X3
+ X1X2X3.
f
(X1,
X2,
X3)
= (X1
+
2)
(
1
+ X2
+ X3).