1.7. Аналитический метод минимизации логических функций

Определение сокращенных форм логических функций может быть сделано методом Квайна. Сущность метода Квайна заключается в следующем. Если в СДНФ двоичной функции произвести все возможные операции неполного склеивания XY + X = X, а затем все возможные операции поглощения XY + X = X, то в результате будет получена сокращенная ДНФ функция, т. е. дизъюнкция всех ее простых импликант.

Алгоритм минимизации методом Квайна состоит из следующих операций:

представить минимизируемую функцию в СДНФ;

последовательно провести возможные операции неполного склеивания;

проведение всех возможных операций поглощения.

Пример 1. Найти сокращенную ДНФ двоичной функции

F (X,Y,Z) =

Ее СДНФ имеет вид

1 2 3 4 5

F (X, Y, Z) = + Z + X + XY + XYZ.

Произведем последовательно все возможные операции неполного склеивания

1-2, 1-3, 3-4, 4-5 1 2 3 4 5

F (X, Y, Z) = ++ X+ XY + +Z + Х + XY + XYZ.

Здесь одиночными номерами отмечены конституенты единицы исходной формы, а двойными - члены исходной формы, участвовавшие в склеивании при получении нового члена.

Теперь произведем все возможные поглощения. Член поглощает конституенты и Z, члены , X, XY - соответственно конституенты X, XY, XYZ.

В результате получим выражение

F (X, Y, Z) = ++ X+ XY,

которое является сокращенной ДНФ.

Использование формул неполного склеивания показывает, что один и тот же член исходного представления может склеиваться с несколькими из остальных членов. Для нахождения всех простых импликант необходимо произвести все возможные склеивания каждого члена с остальными. Обычно это делается следующим образом.

Пример тот же.

1 2 3 4 5

F (X, Y, Z) = + Z + X + XY+ XYZ.

1* - 2* (склеивание по Z),

1 - 3* (склеивание по X),

3 - 4* X (склеивание по Y),

4 - 5* X Y (склеивание по Z).

F (X, Y, Z) = ++ X+ XY - сокращенная ДНФ.

Здесь звездочками отмечены номера членов, которые поглощаются импликантами, получаемые после каждого склеивания.

Если звездочками будут отмечены номера всех членов исходной формы, то в сокращенную форму войдут только результаты всех склеиваний. В противном случае неотмеченные конституенты единицы будут простыми импликантами и в качестве таковых войдут в сокращенную ДНФ.

Поскольку простая импликанта может принимать значения 1 на нескольких наборах, то в некоторых случаях в сокращенной ДНФ могут содержаться лишние импликанты, исключение которых не влияет на поведение функции. В процессе минимизации все лишние импликанты должны быть исключены из сокращенной ДНФ. В результате будут получены тупиковые ДНФ (ТДНФ).

Тупиковой ДНФ двоичной функции называется дизъюнкция ее простых импликант, ни одна из которых не является лишней.

Пример. Получить тупиковую дизъюнктивную нормальную форму логической функции F (X, Y, Z, V) =

Сокращенная ДНФ данной функции имеет вид

F (X, Y, Z, V) = X + XZ + YZ + YV + V + V .

Найдем ТДНФ методом импликантных матриц.

Метод импликантных матриц включает в себя следующие этапы:

1. Получение СДНФ переключательной функции.

2. Получение сокращенной ДНФ переключательной функции, т.е. нахождение всех ее простых импликант.

3. Построение прямоугольной матрицы - импликантной матрицы, столбцы которой соответствуют конституентам единицы, а строки ее простым импликантам.

4. Выбор из импликантной матрицы минимального количества самых коротких простых импликант, которые совместно поглощают все конституенты единицы функции и ни одна из которых не является лишней.

Дизъюнкция выбранных таким образом простых импликант и будет являться тупиковой.

Пример. Построить импликантную матрицу и получить тупиковые и минимальную ДНФ функции, рассмотренные выше в примере.

СДНФ F (X, Y, Z, V) = V + YV + YZ + YZV +

+ X + XV + XZ + XZV + XYZ + XYZV.

Сокращенная ДНФ

F (X, Y, Z, V) = X+ XZ + YZ + YV + V + V.

Строим импликантную матрицу (Таблица 1.19).

Таблица 1.19

К1 Прост Имплик.	V	YV	YZ	YZV	X	XV	XZ	XZV	XYZ	XYZV
X							
X Z										
Y Z										
V				
V		
V						

Следует поставить крестики в тех клетках таблицы, в которых импликанты являются частью конституент единицы. Все столбцы обязательно должны быть отмечены одним или несколькими крестиками.

Суть нахождения тупиковых ДНФ по импликантной матрице сводится к отысканию вариантов простых импликант, которые совместно накрывают все исходные конституенты 1.

Вначале определяются существенные импликанты, которые должны обязательно войти в минимальную форму.

Существенной импликантой называют такую импликанту, которая в единственном числе накрывает ту или иную конституенту 1.

Из полученной импликантной матрицы следует, что импликанты X и YZ являются существенными, поскольку конституента YZ поглощается только одной импликантой YZ, а конституента X только импликантой X. Поэтому импликанты X и YZ должны обязательно войти в минимальную форму. Совместно эти две импликанты поглощают все конституенты, кроме первых двух V и XYZV. Поглощение указанных первых двух конституент единицы может быть сделано, как следует из импликантной матрицы, двумя путями: либо с помощью двух импликант YV и V, либо с помощью одной импликанты XZV. Это приводит к двум ТДНФ:

1-я ТДНФ F1 (X, Y, Z, V) = X + YZ + YV + V;

2-я ТДНФ F2 (X, Y, Z, V) = X + YZ + V.

Первая содержит 10 букв, а вторая - 7. Поэтому вторая ТДНФ является минимальной (МДНФ).

МДНФ называется такая функция, которая содержит наименьшее количество букв по сравнению с любыми другими функциями ДНФ.

Пример. Дана СДНФ

F (X, Y, Z, V) = ZV + YV + YZ + XV + XYZ +

+ XZV + XY + XYZV + XYZ+XYZV,

ее СкДНФ F(X, Y, Z, V) = YV + YZ + YZ + XV + XZ + XV + XZ + XY.

Импликантная матрица имеет вид, представленный в таблице 1.20.

Таблица 1.20

К1 прост. мплик.	ZV	YV	YZ	XV	XYZ	XZ	XY	XYV	XYZ	XYZV
X										
X Z										
X Y										
Z V						
YV								
XV								
XV									
X Z									

1. ТДНФ F₁ = XZ + ZV + YV + YZ + XV + XY - 15.

2. ТДНФ F₂ = XZ + ZV + YZV + YZ + XV + XY - 16.

3. ТДНФ F₃ = XZ + ZV + YV + YZV + XV + XV + XY - 18.

Из трех ТДНФ функция F₁ (X, Y, Z, V) будет минимальной, так как она содержит наименьшее число букв - 15 по сравнению с F₂ (X, Y, Z, V) и F₃ (X, Y, Z, V), соответственно 16 и 18 букв.