1.3. Функционально полные системы логических функций (базис)

Одни логические функции можно выражать через другие логические функции. Это может быть выполнено методом суперпозиции или перестановки входов.

Базис - это полная система логических функций, с помощью которой можно описать сколь угодно сложный закон функционирования. К базису относится система функций И, ИЛИ, НЕ (базис 1), свойства которого были изучены Булем. Базисами являются также системы, содержащие функции И, НЕ (базис 2), ИЛИ, НЕ (базис 3), состояние из функций Шеффера И - НЕ (Базис 4) и функции Пирса ИЛИ - НЕ (базис 5). Это перечисление показывает, что базисы могут быть избыточными (базис 1) и минимальными (базисы 4,5).

Базис минимальный, если удаление хотя бы одной функции превращает систему функций алгебры логики в неполную. Проблема простейшего представления логических функций сводится к выбору не только базиса, но и формы наиболее экономного представления этих функций.

Базис И, ИЛИ, НЕ является избыточной системой, так как возможно удаление из него некоторых функций. Например, используя законы де Моргана, можно удалить либо функцию И, заменив ее на функции ИЛИ и НЕ, либо функцию ИЛИ, заменив ее на функции И и НЕ. Если сравнить, в смысле минимальности различные формы представления функций алгебры логики, то очевидно, что нормальные формы экономичнее совершенных нормальных форм. Но с другой стороны, нормальные формы не дают однозначного представления.

Минимальная форма представления функций алгебры логики - форма представления системы функций, которая содержит минимальное количество термов и переменных в термах, т.е. минимальная форма не допускает никаких изменений.

Например, функция f (X₁,X₂, ...,Xn) = X₁ + X₂ является минимальной формой, и наоборот, функция X₁ + ₁X₂ может быть упрощена, если к этому выражению применить второй распределительный закон, т.е. ₁ + X₁X₂ = (₁ + X₁)(X₁ + X₂) = X₁ + X₂.

Следовательно, упрощение сложных логических выражений может быть осуществлено на основе использования основных законов и аксиом, изложенным выше. При структурном синтезе элементы рассматриваются как идеальные, имеющие бесспорно большую мощность, не искажающие и не задерживающие сигналы, проходящие через них. Однако, реальные элементы такими свойствами не обладают. Поэтому при составлении логических схем приходится использовать не только логические элементы, входящие в функционально полные наборы, но и различные согласующие элементы такие, как делители, формирователи, элементы задержки. Наборы элементов, обладающие функциональной полнотой и дополненные необходимыми согласующими элементами, будем называть функционально полной системой логических элементов или технически полными наборами элементов.

1.4. Основные законы и эквивалентности для логических операций

Основные свойства алгебры логики позволяют осуществлять эквивалентные преобразования логических формул для их упрощения или приведения к требуемому виду, а также для доказательства логических правил и теорем.

Процесс упрощения сводится к последовательному применению тех или иных общих свойств с тем, чтобы уменьшить общее количество вхождений в формулу переменных и символов логических операций. Между тем не всегда очевидно, какое из свойств наиболее целесообразно использовать на каждом шаге, поэтому работа с формулами на интуитивном уровне подобна блужданию в лабиринте. Этому процессу можно придать целенаправленный характер, если воспользоваться основными законами и тождествами алгебры логики.

В алгебре логики определено отношение эквивалентности (=), которое удовлетворяет следующим свойствам:

Х = Х - рефлексивность; если X = Y, то Y = X - симметричность; если X = Y, Y = Z, то X = Z - транзитивность. Из отношения эквивалентности следует принцип подстановки: если X = Y, то в любой формуле, содержащей X, вместо X можно подставить Y и будет получена эквивалентная формула.

Все тождественные преобразования исходных логических функций осуществляются в соответствии с основными законами алгебры логики. Правильность любого из тождеств алгебры логики проверяется непосредственной подстановкой всех возможных значений переменных, входящих в тождества.

Используя основные положения алгебры логики, нетрудно убедиться в справедливости следующих аксиом. Пусть Х - некоторая логическая переменная X = (0,1). Тогда:

1. X = , что означает возможность исключения из логического выражения всех членов, имеющих двойное отрицание, заменив их исходной величиной.

2

правила идемпотентности или повторения, которые позволяют сокращать длину логических выражений.

. Х + Х + … + Х = Х

Х ∙ Х … Х = Х

3. Из таблицы истинности для логического сложения (+,), логического умножения (∙,) и логического отрицания () можно получить следующие аксиомы:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1	Х1	Х2	Х1+Х2	0 ∙ 0 = 0 0 ∙ 1 = 0 1 ∙ 0 = 0 1 ∙ 1 = 1	Х1	Х2	Х1∙Х2
	0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1		0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

= 1 = 0	Х
	0 1	1 0

Если в рассмотренных аксиомах произвести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементов 0 и 1, то из одной аксиомы получится другая. Это свойство называется принципом двойственности.

С помощью аксиом алгебры логики можно доказать целый ряд теорем и тождеств. Одним из эффективных методов доказательства теорем является метод перебора всех значений переменных. Если теорема истинна, то при подстановке любых значений переменных в обе части выражения, формулирующего утверждение теоремы, должно получиться тождество. Метод перебора не слишком трудоемок, так как переменные могут иметь только два значения: 0 и 1.

1. Переместительный закон, или закон коммутативности для логического сложения и умножения

X₁ + X₂ = X₂ + X₁,

X₁ X₂ = X₂ X₁. (1.5)

2. Сочетательный закон, или закон ассоциативности для логического сложения и умножения

(X₁ + X₂) + X₃ = X₁ + (X₂ + X₃),

(X₁ X₂)X₃ = X₁(X₂ X₃). (1.6)

3. Первый распределительный закон, или первый дистрибутивный закон, в соответствии с которым конъюнкция дистрибутивна дизъюнкции, т.е.

X₁(X₂ + X₃) = X₁ X₂ + X₁ X₃. (1.7)

Из приведенных законов, очевидно, что они совпадают с законами обычной алгебры и, следовательно, все эти операции с логическими формулами аналогичны операциям с алгебраическими выражениями.

4. Второй распределительный закон, или второй дистрибутивный закон, утверждающий, что дизъюнкция дистрибутивна относительно конъюнкции, т.е.

X₁ + X₂ X₃ = (X₁ + X₂) (X₁ + X₃). (1.8)

Это тождество доказывается путем раскрытия скобок с последующим вынесением X за скобки

(X₁ + X₂) (X₁ + X₃) = X₁X₁ + X₁X₃ + X₂X₂ + X₂X₃ =

= X₁ (1 + X₂ + X₃) + X₂X₃ = X₁ + X₂X₃.

5. Закон инверсии для логического сложения (теорема де Моргана). Отрицание суммы равно отрицанию переменных

. (1.9)

6. Закон инверсии для логического умножения. Отрицание произведения равно отрицанию переменных

. (1.10)

Последние три выражения справедливы лишь для алгебры логики и в обычной алгебре аналогов не имеют.

7. Эквивалентности:

X + 0 = X X + 1 = 1 X + X = X X + = 1

X ∙ 0 = 0 X ∙ 0 = X X ∙ X = X X ∙= 0

(1.11)

Если логическая сумма высказываний содержит хоть одну пару взаимно инверсных слагаемых, то она тождественно равна 1.

Пример. X₁ + + X₄ + X₈ + = 1.

Аналогичным образом могут образовываться постоянно-ложные высказывания.

Пример. X₁ X₂ X₃ = 0.

8. Формулы полного склеивания

для дизъюнкции

X Y + X = X - склеивание по Y, (1.12)

для конъюнкции

(X + Y) (X + ) = X - склеивание по Y. (1.13)

9. Формулы неполного склеивания

для дизъюнкции

X Y + X = X + X Y + X , (1.14)

для конъюнкции

(X + Y) (X + ) = X (X + Y) (X + ) (1.15)

10. Формулы поглощения

для дизъюнкции

X + XY = X; X (1 + Y) = X, (1.16)

для конъюнкции

X (X + Y) = X, XX + XY = X + XY = X (1 + Y) = X. (1.17)

11. Правило свертки:

X + Y = X + Y. (1.18)

Это тождество получается в результате двоекратного применения законов инверсии

X + Y = X + = X + = + = =

= = = + = X + Y

или доказывается применением второго распределительного закона

X + Y = (X +) (X + Y) = X + Y.

12. Правило расширения

X Y + Z = X Y + Z + Y Z (1.19)

Доказательство:

(XY+) (XY + Z) = XY + XYZ + XY +Z = XY + XYZ +Z =

= XY (1 + Z) +Z = XY +Z.

на основании распределительного закона. Доказать это тождество можно и с помощью инверсии (правило де Моргана).

При преобразовании логических функций необходимо помнить, что при отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания, затем операции конъюнкции и далее операции дизъюнкции.

Операции импликации, эквивалентности и другие считаются равноправными и выполняются последовательно слева направо в порядке их записи. При наличии скобок порядок действий изменяется, и при этом в первую очередь производятся операции внутри скобок.