Элементарные логические функции одного аргумента

При синтезе логических схем широко применяются элементы с одним и двумя входами.

При одном аргументе n = 1 количество различных наборов равно двум: 0 и 1, а число различных переключательных функций – четырем. Их перечень приведен в таблице 1.7.

Число различных логических функций очень быстро растет с увеличением числа переменных (N = 2²ⁿ, где n - число переменных), поэтому все их изучить невозможно. Любая логическая функция, зависящая от n-переменных (n>2), выражается через функции, зависящие от одной или двух переменных. Поэтому логические функции, зависящие от одной и двух переменных, занимают особое место в теории логических функций. Их называют элементарными логическими функциями или базовыми (основными).

Рассмотрим эти функции.

При n = 0 имеются две различные функции f₀ = 0 и f₁ = 1. Функция f₀ = 0 называется константой 0, а функция f₁ = 1 называется константой 1.

Таблица 1.7

Х	0	1	Условное обозначение	Название функции
f0 (Х) f1 (Х) f2 (Х) f3 (Х)	0 0 1 1	0 1 0 1	0 Х 1	Константа 0 Переменная Х Инверсия Х Константа 1

Функция f₀ (X) тождественно равна 0. Эту функцию называют константой нуля и обозначают f₀ (X) = 0.

Функция f₃ (X) тождественно равна единице. Эту функцию называют константой единицы и обозначают f₃ (Х) = 1.

Функция f₁ (X) повторяет значение аргумента и потому тождественно равна переменной Х.

Функция f₂ (X) принимает значения, противоположные значениям аргумента: если Х=0, f₂ (X) = 1; если Х = 1, f₂ (X) = 0. Эту функцию называют инверсией переменной Х или отрицанием Х и обозначают f₂ (X) = .

На рисунке 1.5 приведены электрические схемы, реализующие переключательные функции одного аргумента, в которых нуль представляется низким потенциалом (потенциалом “земли”) (рис. 1.15а), а единица - высоким потенциалом +Е (рис. 1.15б). Константа нуля и единицы реализуется подключением выхода “земля” к источнику питания +Е соответственно, а переменная Х – отрезком проводника (рис. 1.15в). Переключательная функция “инверсия” требует для реализации электрическую схему инвертора (рис.1.15 г).

Рисунок 1.15 - Реализация логических функций от одного аргумента

Логические функции двух аргументов

При двух аргументах X₁ и X₂ количество различных функций равно шестнадцати (таблица 1.8). В число их входят функции, равные константам 0 и 1, переменным X₁ и X₂, а также их инверсиям ₁ и ₂:

f₀ (X₁, X₁) = 0 - константа нуль;

f₃ (X₁, X₂) = X₁ - аргумент X₁;

f₅ (X₁, X₂) = X₂ - аргумент X₂;

f₁₀(X₁, X₂) =₂ - отрицание X₂;

f₁₂(X₁, X₂) =₁ - отрицание X₁;

f₁₅(X₁, X₂) = 1 - константа единица.

Особенностью этих функций является то, что их значения зависят не от всех переменных (аргументов). Такие функции называются вырожденными. Они сводятся к рассмотренным ранее функциям одного аргумента и к тем же методам схемной реализации. Остальные переключательные функции двух аргументов являются невырожденными.

Таблица 1.8

Х1	0	0	1	1	Наименование функции	Условное обозначение
Х2	0	1	0	1
f0 (X1, X1)	0	0	0	0	Константа нуль	0
f1 (X1, X1)	0	0	0	1	Конъюнкция &	Х1 & Х2
f2 (X1, X1)	0	0	1	0	Запрет по Х2 (НЕТ)	Х1 ∆ Х2
f3 (X1, X1)	0	0	1	1	Аргумент Х1	Х1
f4 (X1, X1)	0	1	0	0	Запрет по Х1 (НЕТ)	Х2 ∆ Х1
f5 (X1, X1)	0	1	0	1	Аргумент Х2	Х2
f6 (X1, X1)	0	1	1	0	Логич. неравнозначные	Х1 Х2
f7 (X1, X1)	0	1	1	1	Дизъюнкция	Х1 Х2
f8 (X1, X1)	1	0	0	0	Стр. Пирса (ИЛИ-НЕ)	Х1 ↓ Х2
f9 (X1, X1)	1	0	0	1	Логич. равнозначные	Х1 = Х2
f10 (X1, X1)	1	0	1	0	Отрицание Х2 (НЕ)	Х2
f11 (X1, X1)	1	0	1	1	Импликация от Х2 и Х1	Х2 → Х1
f12 (X1, X1)	1	1	0	0	Отрицание Х1 (НЕ)	Х1
f13 (X1, X1)	1	1	0	1	Импликация от Х1 и Х2	Х1 → Х2
f14 (X1, X1)	1	1	1	0	Штрих Шеффера	Х1 ׀ Х2
f15 (X1, X1)	1	1	1	1	Константа единицы	1

1. Функция f₁ (X₁,X₂) совпадает с таблицей умножения двух одноразрядных двоичных чисел (таблица 1.9). Она носит название логического умножения, конъюнкции или функции “И”.

f₁ (X₁,X₂) = X₁ X₂ = X₁ X₂.

Таблица 1.9 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 X2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

2. Функция f₂ (X₁,X₂) = 1 только в случае, если X₁=1, а X₂=0. Появление сигнала Х₂ = 1 как бы запрещает прохождение сигнала Х₁ на выход схемы. Поэтому данная функция называется функцией запрета или функцией “НЕТ” (таблица 1.10).

Таблица 1.10 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 ∆ X2
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

3. Функция f₄ (X₁,X₂) аналогична функции f₂ (X₁,X₂) с той лишь разницей, что здесь роли переменных X₁ и X₂ поменялись.

4. Функция f₉ (X₁,X₂) равна 1, когда значения аргументов X₁ и X₂ совпадают, т.е. равнозначны. Отсюда вытекает название - логическая равнозначность (Таблица 1.11).

Таблица 1.11 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 = X2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

5. Поскольку функция f₆ (X₁,X₂) противоположна f₉ (X₁,X₂), то ей присвоено название логическая неравнозначность и, кроме того, эта функция совпадает с таблицей сложения одноразрядных двоичных чисел по модулю 2, что обусловило второе название - ”сложение по модулю два” (таблица 1.12).

Таблица 1.12 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	f6(X1,X2)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

6. Функция f₇ (X₁,X₂) - логическое сложение или дизъюнкция (функция “ИЛИ”) (таблица 1.13).

Таблица 1.13 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 X2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

7. Функция f₈ (X₁,X₂) - отрицание дизъюнкции носит название “Стрелка Пирса”, функция Вебба (Даггера) (ИЛИ-НЕ) (табл. 1.14).

f₈ (X₁,X₂) = X₁ ↓ X₂ = X₁ X₂

Таблица 1.14 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 ↓ X2
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

8. Функция f₄ (X₁,X₂) = X₁│X₂ = носит название “Штрих Шеффера” или отрицание конъюнкции (И-НЕ) (табл. 1.15).

Таблица 1.15 - Обозначение на схемах по ЕСКД

Х1	Х2	X1 | X2
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Необходимо отметить, что функции f₈ и f₁₄ в отдельности являются функционально полными, т.е. с их помощью можно выразить любую сколь угодно сложную функцию путем суперпозиции.

9. Функции f₁₃ (X₁,X₂) и f₁₁ (X₁,X₂) носят название “импликация” и записываются f₁₃ (X₁,X₂) = X₁→X₂, и f₈ (X₁,X₂) = X₂→X₁ (таблицы 1.16-1.17).

Таблица 1.16 Таблица 1.17

Х1	Х2	X1 → X2		Х1	Х2	X2 → X1
0	0	1		0	0	1
0	1	1		0	1	0
1	0	0		1	0	1
1	1	1		1	1	1

Если X₁ = 1, то X₂ = 0, f₁₃ (X₁,X₂) = 0.

Если X₂ = 1, то X₁ = 0, f₈ (X₁,X₂) = 0.

Высказывание Х₁ называется посылкой, а Х₂ - следствием.

На первый взгляд таблица истинности для импликации может показаться несколько странной, так как из нее следует, что истинным является сложное высказывание, составленное из двух ложных высказываний. Например, высказывание “если дважды два – пять, то снег – черный”, следует считать истинным, хотя никакой логической связи между простым высказыванием, составляющим данное предложение, нет. Это связано с тем, что в алгебре логики любое простое высказывание рассматривают только с точки зрения его свойства быть истинным или ложным, а содержанием высказывания не интересуются. Поэтому логическими связями могут объединяться высказывания, не связанные между собой по смыслу. Тот факт, что высказывание Х₁ → Х₂ истинно при Х₁ = 0 и любое значение Х₂ означает, что, исходя из ложной посылки (Х₁), можно прийти к любому следствию (Х₂) как истинному, так и ложному. УГО по госту приведены соответственно на рис. 1.23 и 1.24.

Рисунок 1.23 - Логическая схема Рисунок 1.24 - Логическая схема импликации Х1 ® X2 импликации Х2 ® X1

Логические операции отрицания выполняются над одним аргументом. Логические операции логической равнозначности, запреты, импликации выполняются над двумя аргументами.

Логические операции дизъюнкции, конъюнкции, сложение по модулю 2, “Штрих Шеффера”, “Стрелка Пирса” могут выполняться над двумя и более аргументами. Значение рассмотренных функций состоит в том, что из них может быть построена произвольная логическая функция, зависящая более чем от двух переменных. Логические функции, зависящие более чем от двух переменных, называются сложными логическими функциями.