1.2. Элементарные логические функции
Фундаментальными понятиями математики являются переменные и функции. В математической логике основными понятиями являются логическая переменная и логическая функция.
Логическая (булевая) переменная это такая величина Х, которая может принимать только два значения (0 или 1).
Функция f (X1, X2, . . ., Xn), зависящая от логических переменных, называется логической, переключательной или булевой функцией, если она так же как и ее аргументы (логические переменные) может принимать только два значения: 0 или 1.
Существует несколько способов задания (описания) булевых функций. Выбор того или иного способа определяется характером задач, которые предстоит при этом решить. Любой способ в конечном итоге должен дать ответ на вопрос: Чему равна функция при каждой данной комбинации значений аргументов?
Совокупность всех возможных комбинаций (наборов) аргументов является областью определения (задания) булевой функции.
Например, для четырех аргументов A, B, C и D функция определена на 16 наборах.
A B C D
0 0 0 0 - нулевой набор
0 0 0 1 - первый набор
. . . . . . . . . . . . . . .
0 1 0 1 - пятый набор
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 0 - четырнадцатый набор
1 1 1 1 - пятнадцатый набор
Каждому набору присваивается номер, равный двоичному числу, разряды которого имеют те же значения, что и аргументы в наборе. Количество различных наборов m аргументов совпадает с количеством различных m - разрядных двоичных чисел и будет равно 2m.
На каждом наборе функция может принимать только одно из двух значений, поэтому число различных булевых функций m аргументов равно 22m.
Наборы переменных, на которых логическая функция принимает значение 1, будем называть единичными наборами.
Наборы, на которых функция принимает значение 0, будем называть нулевыми наборами.
Иногда есть наборы, на которых значение функции не определено, такие наборы будем называть условными (неопределенными). Логические функции, значение которых определено только на части наборов переменных, называются неполностью определенными функциями. Значения функции на условных наборах могут выбираться произвольно. Поэтому неполностью определенную логическую функцию можно рассматривать как семейство полностью определенных логических функций, отличающихся друг от друга значениями на условных наборах. Логическая функция, имеющая К-условных наборов, порождает 2к различных полностью определенных функций, рабочие и запрещенные наборы которых соответствуют.
Наибольшая часть булевых функций задается в одной из следующих форм:
-
в форме словесного описания;
-
в форме таблиц истинности (соответствия);
-
в числовой форме;
-
в алгебраической форме;
-
в форме карты Карно (диаграммы Вейча);
-
номерами рабочих и запрещенных (условных) наборов;
-
в форме временных диаграмм.
Сейчас рассмотрим первые три формы, а остальные рассмотрим ниже.
Словесное описание. Словесное описание используется, как правило, лишь на первом этапе структурного синтеза переключательных схем и сводится к формированию логики их работы.
Пример словесного описания логической схемы “И”. Логическая схема с двумя входами и одним выходом. Единичный сигнал на выходе появится только в случае, когда единичные сигналы поступают одновременно на оба входа. Во всех других случаях выходной сигнал равен нулю.
Словесное описание очень громоздкое и ненаглядное, поэтому его по возможности избегают, либо от него переходят к иным формам записи.
Таблица соответствия (истинности). Это форма - одна из наиболее наглядных. От нее удобно переходить к другим формам. Пример тот же самый, который был приведен при словесном описании (таблица 1.4).
Таблица 1.4
|
Х1 |
Х2 |
(Х1, Х2) |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Числовые формы записи. Данный метод описания сводится к указанию номеров, на которых функция равна единице (числовая сумма) или нулю (числовое произведение).
Пример. Задана таблица соответствия (таблица 1.5).
Таблица 1.5
|
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
Z |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
f (x,y,z) |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Заданная функция может быть представлена в виде числовой суммы f (X,Y,Z) = ∑0 (1,2,4,7) или f (X,Y,Z) = V0 (1,2,4,7), либо в виде числового произведения f (X,Y,Z) = ∏0 (0,3,5,6) или f (X,Y,Z) = ∆0 (0,3,5,6).
Знак ∑0 (V0) читается, как “сумма обязательная”. В скобках указаны номера наборов, на которых функция равна 1. Аналогично, знак ∏0(∆0) читается как “произведение обязательное”. В скобках указываются номера наборов, на которых функция равна нулю.
Пример. Описать в виде таблицы соответствия (таблица 1.6) и числовой формы закон функционирования схемы, обеспечивающей формирование переноса при сложении цифр слагаемых 3-х разрядов (Рис. 1.14).
Рисунок 1.14 - Схема сложения цифр слагаемых 3-х разрядов
X1 - цифра первого слагаемого;
X2 - цифра второго слагаемого;
X3 - цифра третьего слагаемого.
Таблица 1.6
|
Номер набора |
Входные слова |
Выходные слова |
||
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
f (X1,X2,X3) |
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 |
0 0 0 0 1 1 1 1 |
0 0 1 1 0 0 1 1 |
0 1 0 1 0 1 0 1 |
0 0 0 1 0 1 1 1 |
f (X1,X2,X3) = ∑0 (3,5,6,7) или f (X1,X2,X3) = П0 (0,1,2,4).