А) Минимизация не полностью определенных функций
На практике часто используются логические схемы, на входы которых некоторые комбинации входных сигналов никогда не подаются. Эти комбинации входных сигналов и соответствующие им наборы аргументов переключательной функции называются запрещенными, а переключательные функции, описывающие функционирование таких схем - не полностью определенными. При синтезе логической схемы необходимо произвести доопределение функции на запрещенных наборах, т.е. задать некоторым образом ее значения. Это может быть сделано совершенно произвольно. Однако всегда доопределение следует проводить так, чтобы в итоге получилась наиболее простая схема.
Таким образом, одной из основных задач при синтезе логических схем, закон функционирования которых определен не полностью, является выбор оптимального способа задания значений выходных сигналов для запрещенных входных комбинаций. После этого минимизация может быть произведена любыми известными способами.
Пример. Функция трех аргументов, заданная таблицей 1.32, определена только на шести наборах.
Таблица 1.32
-
Х1
Х2
Х3
(Х1, Х2, Х3)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
–
1
1
–
На диаграмме Вейча (табл. 1.33) клетки, соответствующие наборам 100, 111, на которых функция не определена, оставляют пустыми.
Т
аблица
1.33
Форма представления функции f (X1,X2,X3) существенно зависит от выбора ее значений на запрещенных наборах.
Например, выбирая эти значения равными нулю, получаем МДНФ в виде (таблица 1.34).
Таблица 1.34
f (X1, X2, X3) = X1X2X3 + X1X2X3 + X1X2X3.
Если значения функции на запрещенных наборах принять равными единице, то форма представления функции упрощается (табл.1.35).
Т
аблица
1.35
f (X1, X2, X3) = X1 + X2X3
В данном примере значения функции на запрещенных наборах, приводящие к простейшей форме представления, нетрудно найти непосредственно по диаграмме Вейча.
Для не полностью определенных переключательных функций большого числа аргументов задача минимизации значительно усложняется и там может оказаться более предпочтительным аналитический метод, особенно в случае автоматизации процесса минимизации на ЭВМ.
При этом можно использовать так называемые эквивалентные функции.
Функция (X1, X2,..., Xm) называется эквивалентной для не полностью определенной функции f (X1, X2,..., Xm), если функция j (X1, X2,..., Xm) принимает значения 0 и 1 на тех же наборах, на которых принимает значения 0 и 1 функция f3, а на наборах, где функция f не определена, функция f может принимать любое значение. Тогда, если функция f не определена на k - наборах, то можно указать для нее 2k различных эквивалентных функций.
Рассмотрим две эквивалентные функции из 2k - наборов.
1 (X1, X2,..., Xm) - под этой эквивалентной функцией будем понимать такую, которая получается из исходной, не полностью определенной, путем ее доопределения единичными значениями на запрещенных наборах.
Под 1 (X1, X2,..., Xm) будем понимать функцию, полученную из исходной НОФ путем ее доопределения на запрещенных наборах нулевыми значениями. Получение МДНФ может быть произведено методом импликантных матриц таким же образом, как и для полностью определенной логической функции.