Электотехника Электрические цепи переменного тока Трехфазные цепи

Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем, под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга. Каждая пара источник-нагрузка может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазойсистемы.

Е сли отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной. Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.

Соединение фаз системы между собой (рис. 1б)) придает ей особые качества, благодаря которым многофазные системы ( в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.

Любая многофазная система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2 /m по отношению друг к другу, где m - число фаз системы. Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде



(1)

Аналогичные выражения можно написать и для токов и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.

Основное свойствосимметричных многофазных систем заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю. Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов. В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).

Многофазная система симметрична только тогда, когда в ней симметричны ЭДС, токи и напряжения. Если принять равными нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие симметрии системы сводится к симметрии ЭДС и равенству комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы записывается в виде

Za = Zb = Zc .

(2)

В дальнейшем мы будем считать, что источники питания являются источниками ЭДС и использовать условия симметрии системы в виде выражений (1) и (2).

В многофазные системы объединяют источники ЭДС и нагрузки. Для обеспечения правильного соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.

На электрических схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На рис. 1 а) начала элементов соответствуют индексам XYZ, а концы - ABC. В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.

С уществуют два способа связывания элементов в многофазную систему - соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой. Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец. С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).

Источники питания и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны разными способами.

При анализе многофазных систем вводится ряд понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами, а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки - нейтральным проводом.

Электродвижущие силы источников многофазной системы (e_A, E_A, E_A, e_B, E_B, E_B, e_C, E_C, E_C), напряжения на их выводах (u_A, U_A, U_A, u_B, U_B, U_B, u_C, U_C, U_C) и протекающие по ним токи (i_A, I_A, I_A, i_B, I_B, I_B, i_C, I_C, I_C) называются фазными. Напряжения между линейными проводами (U_AB, U_AB, U_BC, U_AC, U_CA, U_CA) называются линейными.

С вязь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов рис. 1 б) как u_AB = u_AN + u_NB = u_ANu_BN = u_Au_B или в символической форме

UAB = UAUB ; UBC = UBUC ; UCA = UCUA .

(3)

Построим векторную диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей принято направлять вещественную ось координатной системы вертикально вверх.

Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений (U_ф = U_A = U_B =U_C), смещенных на угол 60 . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов (U_л = U_AB = U_BC =U_CA) можно определить как .

Выражения (3) справедливы как для симметричной системы, так и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений соединяют между собой концы фазных (вектор U_CA рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю. Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) - U_AB + U_BC + U_CA = U_AU_B + U_BU_C + U_CU_A = 0.

Тот факт, что геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных. Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.

Символический метод расчета

Из уравнений Кирхгофа для узлов a, b и c нагрузки соединенной треугольником (рис. 2 б)) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде

IA = IabIca ; IB = IbcIab ; IC = IcaIbc .

(4)

В случае симметрии токов I_A = I_B = I_C = I_л и I_ab = I_bc = I_ca = I_ф, поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4).

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.

П усть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и U_A = U_a , U_B = U_b и U_C = U_c., а I_A = I_a , I_B = I_b и I_C = I_c. Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны

Ia = UA/Za ; Ib = UB/Zb и Ic = UC/Zc.

(5)

Ток в нейтральном проводе можно определить по закону Кирхгофа для нейтральной точки нагрузки. Он равен

IN =Ia +Ib +Ic .

(6)

Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе Z_a = Z_b = Z_c= Z, поэтомуI_N =I_a +I_b +I_c= U_A/Z_a+U_B/Z_b+U_C/Z_c = (U_A+U_B+U_C)/Z = 0, т.к. по условию симметрии U_A+U_B+U_C=0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения - фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.

При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы и смещены по отношению друг к другу на 120 . Их модули или действующие значения можно определить как I = U_ф/Z.

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным проводом приведены на рис. 4 б) и в).

П ри отсутствии нейтрального провода сумма токов в фазах нагрузки равна нулю I_a+I_b+I_c =0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.

При несимметричной нагрузке между нейтральными точками источника и нагрузки возникает падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда

,

(7)

где Y_a=1/Z_a, Y_b=1/Z_b, Y_c=1/Z_c- комплексные проводимости фаз нагрузки.

Н апряжение U_nN представляет собой разность потенциалов между нейтральными точками источника и нагрузки. По схеме рис. 5 б) его можно представить также через разности фазных напряжений источника и нагрузки U_nN = U_AU_a = U_BU_b = U_CU_c. Отсюда фазные напряжения нагрузки

Ua = UAUnN; Ub = UBUnN; Uc = UCUnN.

(8)

Токи в фазах нагрузки можно определить по закону Ома

Ia = Ua/Za ; Ib = Ub/Zb ; Ic = Uc/Zc.

(9)

Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки приведены на рис. 6. Диаграммы симметричного режима (рис. 6 а)) ничем не отличаются от диаграмм в системе с нулевым проводом.

Диаграммы несимметричного режима (рис. 6 б)) иллюстрируют возможность существования множества систем фазных напряжений для любой системы линейных. Здесь системе линейных напряжений U_ABU_BCU_CA соответствуют две системы фазных. Фазные напряжения источника U_AU_BU_C и фазные напряжения нагрузки U_aU_bU_c..

В трехфазных цепях нагрузка и источник могут быть соединены по-разному. В частности нагрузка, соединенная треугольником, может быть подключена к сети, в которой источник питания соединен звездой (рис. 7 а)).

При этом фазы нагрузки оказываются подключенными на линейные напряжения

U_ab= U_AB ; U_bc =U_BC ; U_ca = U_CA.

Токи в фазах можно найти по закону Ома

I_ab = U_ab/Z_ab ; I_bc = U_bc/Z_bc ;

I_ca = U_ca/Z_ca,

а линейные токи из уравнений Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки

IA = IabIca ; IB = IbcIab ; IC = IcaIbc .

(10)

Векторы фазных токов нагрузки на диаграммах для большей наглядности принято строить относительно соответствующих фазных напряжений. На рис. 7 б) векторные диаграммы построены для случая симметричной нагрузки. Как и следовало ожидать, векторы фазных и линейных токов образуют симметричные трехфазные системы.

На рис. 7 в) построена векторная диаграмма для случая разных типов нагрузки в фазах. В фазе ab нагрузка чисто резистивная, а в фазах bc и ca индуктивная и емкостная. В соответствии с характером нагрузки, вектор I_ab совпадает по направлению с вектором U_ab; вектор I_bc отстает, а вектор I_ca опережает на 90 соответствующие векторы напряжений. После построения векторов фазных токов можно по выражениям (10) построить векторы линейных токов I_A, I_B и I_C.

Трехфазная цепь является совокупностью трех однофазных цепей, поэтому ее мощность может быть определена как сумма мощностей отдельных фаз.

При соединении звездой активная мощность системы будет равна

P = Pa + Pb + Pc = UaIacosa + UbIbcosb + UcIccosc = =Ia2Ra + Ib2Rb + Ic2Rc ,

(11)

а реактивная

Q = Qa + Qb + Qc = UaIasina + UbIbsinb + UcIcsinc = =Ia2Xa + Ib2Xb + Ic2Xc .

(12)

Если нагрузка соединена треугольником, то активная и реактивная мощности будут равны

P = Pab + Pbc + Pca = UabIabcosab + UbcIbccosbc + UcaIcacosca = =Iab2Rab + Ibc2Rbc + Ica2Rca ,	(13)
Q = Qab + Qbc + Qca = UabIabsinab + UbcIbcsinbc + UcaIcasinca = =Iab2Xab + Ibc2Xbc + Ica2Xca .	(14)

Полную мощность можно определить из треугольника мощностей как

.

(15)

Следует обратить внимание на то, что полная мощность трехфазной цепи не является суммой полных мощностей фаз.

При симметричной нагрузке мощности всех фаз одинаковы, поэтому полная мощность и ее составляющие для соединения звездой будут равны

(16)

При соединении нагрузки треугольником

(17)

Из выражений (16) и (17) следует, что полная мощность трехфазной сети и ее составляющие при симметричной нагрузке могут быть определены по линейным токам и напряжениям независимо от схемы соединения.

 

Свойства звезды и треугольника

Типичные случаи соединений в звезду и треугольник генераторов, трансформаторов и электроприемников рассмотрены выше. Остановимся теперь на важнейшем вопросе о мощности при соединениях в звезду и треугольник, так как для работы каждого механизма, приводимого в действие электродвигателем или получающего питание от генератора или трансформатора, в конечном итоге важна именно мощность.

В сетях переменного тока различают:

1. полную (кажущуюся) мощность   S = EI или S = UI;

2. активную мощность   Р = EIcosφ или P = UIcosφ;

3. реактивную мощность   Q = EIsinφ или Q = UIsinφ,

где Е - ЭДС; U - напряжение на зажимах электроприемника; I - ток; φ - угол сдвига фаз между током и напряжением¹.

При определении мощности генераторов в формулы входят ЭДС, при определении мощности электроприемников - напряжения на их зажимах. При определении мощности электродвигателей учитывают также коэффициент полезного действия, так как на табличке электродвигателя указывается мощность на его валу.

Если мощности фаз Sa(Pa, Qa); Sb(Pb, Qb); Sc(Pc, Qc) одинаковы и соответственно равны Sф, Pф и Qф, то мощность трехфазной системы, выраженная через фазные величины, равна сумме мощностей трех фаз и составляет:

1. полная   S = 3Sф;

2. активная   Р = 3Pф;

3. реактивная   Q = 3Qф.

Мощность при соединении в звезду. При соединении в звезду линейные токи I и фазные токи Iф равны, а между фазными и линейными напряжениями существует соотношение U = U/√3Uф, откуда Uф = U/√3. Сопоставляя эти формулы, видим, что выраженные через линейные величины при соединении в звезду мощности равны:

1. полная   S = 3Sф = √3UI;

2. активная   Р = √3UIcosφ;

3. реактивная   Q = √3sinφ.

Мощность при соединении в треугольник. При соединении в треугольник линейные U и фазные Uф напряжения равны, а между фазными и линейными токами существует соотношение I = √3Iф, откуда Iф = I√3. Поэтому выраженные через линейные величины при соединении в треугольник мощности равны:

1. полная   S = 3Sф = √3UI;

2. активная   Р = √3UIcosφ;

3. реактивная   Q = √3UIsinφ.

Важное замечание. Одинаковый вид формул мощности для соединений в звезду и треугольник иногда служит причиной недоразумений, так как наталкивает недостаточно опытных людей на неправильный вывод, будто вид соединений всегда безразличен. Покажем на одном примере, насколько ошибочен такой взгляд.

Электродвигатель был соединен в треугольник и работал от сети 380 В при токе 10 A с полной мощностью

S = 1,73·380·10= 6574 В·А.

Затем электродвигатель пересоединили в звезду. При этом на каждую фазную обмотку пришлось в 1,73 раза более низкое напряжение, хотя напряжение в сети осталось тем же. Более низкое напряжение привело к тому, что ток в обмотках уменьшился в 1,73 раза. Но и этого мало. При соединении в треугольник линейный ток был в 1,73 раза больше фазного, а теперь фазный и линейный токи равны.

Таким образом, линейный ток при пересоединении в звезду уменьшился в 1,73·1,73 = 3 раза.

Иными словами, хотя новую мощность нужно вычислять по той же формуле, но подставлять в нее следует иные значения, а именно:

S = 1,73·380·10/3= 2191 В·А.

Из этого примера следует, что при пересоединении электродвигателя с треугольника в звезду и питании его от той же электросети мощность, развиваемая электродвигателем, снижается в 3 раза.

Что происходит при переключении со звезды в треугольник и обратно в наиболее распространенных случаях? Оговариваем, что речь идет не о внутренних пересоединениях (которые выполняют в заводских условиях или в специализированных мастерских), а о пересоединениях на щитках аппаратов, если на них выведены начала и концы обмоток.

1. При переключении со звезды в треугольник обмоток генераторов или вторичных обмоток трансформаторов напряжение в сети понижается в 1,73 раза, например с 380 до 220 В. Мощность генератора и трансформатора остается такой же. Почему? Потому что напряжение каждой фазной обмотки остается таким же и ток в каждой фазной обмотке такой же, хотя ток в линейных проводах возрастает в 1,73 раза.

При переключении обмоток генераторов или вторичных обмоток трансформаторов с треугольника в звезду происходят обратные явления, т. е. линейное напряжение в сети повышается в 1,73 раза, например с 220 до 380 В, токи в фазных обмотках остаются теми же, токи в линейных проводах уменьшаются в 1,73 раза.

Значит, и генераторы, и вторичные обмотки трансформаторов, если у них выведены все шесть концов, пригодны для сетей на два напряжения, отличающихся в 1,73 раза.

2. При переключении ламп со звезды в треугольник (при условии их присоединения к той же сети, в которой лампы, включенные звездой, горят нормальным накалом) лампы перегорят.

При переключении ламп с треугольника в звезду (при условии, что лампы при соединении в треугольник горят нормальным накалом) лампы будут давать тусклый свет. Значит, лампы, например, на 127 В в сеть напряжением 127 В должны включаться треугольником. Если же их приходится питать от сети 220 В, необходимо соединение в звезду с нулевым проводом (подробнее см. § 2). Соединять в звезду без нулевого провода можно только лампы одинаковой мощности, равномерно распределенные между фазами, как, например, в театральных люстрах.

3. Все сказанное о лампах относится и к резисторам, электрическим печам и тому подобным электроприемникам.

4. Конденсаторы, из которых собирают батареи для повышения cosφ, имеют номинальное напряжение, которое указывает напряжение сети, к которой конденсатор должен присоединяться. Если напряжение сети, например, 380 В, а номинальное напряжение конденсаторов 220 В, их следует соединять в звезду. Если напряжение сети и номинальное напряжение конденсаторов одинаковы, конденсаторы соединяют в треугольник.

5. Как объяснено выше, при переключении электродвигателя с треугольника в звезду мощность его снижается примерно втрое. И наоборот, если электродвигатель переключить со звезды в треугольник, мощность резко возрастает, но при этом электродвигатель, если он не предназначен для работы при данном напряжении и соединении в треугольник, сгорит.

Пуск короткозамкнутого электродвигателя с переключением со звезды в треугольник применяют для снижения пускового тока, который в 5-7 раз превышает рабочий ток двигателя. У двигателей сравнительно большой мощности пусковой ток настолько велик, что может вызвать перегорание предохранителей, отключение автоматического выключателя и привести к значительному снижению напряжения. Уменьшение напряжения снижает накал ламп, уменьшает вращающий момент электродвигателей, может вызвать отключение контакторов и магнитных пускателей. Поэтому стремятся уменьшить пусковой ток, что достигается несколькими способами. Все они в итоге сводятся к понижению напряжения в цепи статора на период пуска. Для этого в цепь статора на период пуска вводят реостат, дроссель, автотрансформатор либо переключают обмотку со звезды в треугольник. Действительно, перед пуском и в первый период пуска обмотки соединены в звезду, поэтому к каждой из них подводится напряжение, в 1,73 раза меньшее номинального, и, следовательно, ток будет значительно меньше, чем при включении обмоток на полное напряжение сети. В процессе пуска электродвигатель увеличивает частоту вращения и ток снижается. Тогда обмотки переключают в треугольник.

Предупреждения: 1. Переключение со звезды в треугольник допустимо лишь для двигателей с легким режимом пуска, так как при соединении в звезду пусковой момент примерно вдвое меньше момента, который был бы при прямом пуске. Значит, этот способ снижения пускового тока не всегда пригоден, и если нужно снизить пусковой ток и одновременно добиться большого пускового момента, то берут электродвигатель с фазным ротором, а в цепь ротора вводят пусковой реостат.

2. Переключать со звезды в треугольник можно только те электродвигатели, которые предназначены для работы при соединении в треугольник, т. е. имеющие обмотки, рассчитанные на линейное напряжение сети.

Переключение с треугольника в звезду. Известно, что недогруженные электродвигатели работают с очень низким коэффициентом мощности cosφ. Поэтому рекомендуется недогруженные электродвигатели заменять менее мощными. Если, однако, выполнить замену нельзя, а запас мощности велик, то не исключено повышение cosφ переключением с треугольника в звезду. Нужно при этом измерить ток в цепи статора и убедиться в том, что он при соединении в звезду не превышает при нагрузке номинального тока; в противном случае электродвигатель перегреется.

 

 

 

¹ Активная мощность измеряется в ваттах (Вт), реактивная в вольт-амперах реактивных (вар), полная - в вольт-амперах (В·А). Величины, в 1000 раз большие, соответственно называются киловатт (кВт), киловар (квар), киловольт-ампер (кВ·А).