[Править]Тензор электромагнитного поля

Определим ковариантный тензор электромагнитного поля при помощи производной от 4-вектора потенциала^[53][54]:

Явный вид этого антисимметричного тензора ( ) может быть представлен в следующем виде:

СГС	СИ

Временные компоненты тензора составлены из компонент напряжённости электрического поля, а пространственные — магнитного, что может быть записано следующим образом:  . В тензоре электромагнитного поля с верхними индексами изменяется знак у нулевых компонент (то есть перед компонентами электрического поля):  .

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:

Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:

где   — антисимметричный символ Леви-Чивиты ( ). Это уравнение является ковариантной записью закона Гаусса для магнитного поля и закона электромагнитной индукции Фарадея. Компоненты дуального тензора   получаются из тензора   в результате перестановки электрического и магнитного полей^[55]:  ,  .

Полная система уравнений Максвелла в ковариантной форме имеет вид:

СГС	СИ

По повторяющемуся индексу   проводится суммирование от 0 до 3, а в правой части второго уравнения находится 4-вектор тока. Нулевая компонента этого уравнения соответствует закону Гаусса, а пространственные — закону Ампера — Максвелла.

При помощи тензора электромагнитного поля можно получить законы преобразований компонент электрического и магнитного полей, измеряемых относительно различных инерциальных систем отсчёта^[56][57]:

СГС	СИ

где «штрихованные» величины измеряются относительно системы отсчёта, движущейся вдоль оси  со скоростью   относительно системы, в которой измеряются «не штрихованные» компоненты полей, а   — фактор Лоренца. Компоненты полей вдоль направления относительного движения инерциальных систем отсчёта остаются неизменными:  .

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности.

Электрическое и магнитное поля различным образом изменяются при инверсии осей пространственной системы координат. Электрическое поле является полярным вектором, а магнитное — аксиальным вектором. Можно построить две инвариантные относительно преобразований Лоренца величины:

Первый инвариант является скаляром, а второй — псевдоскаляром, то есть изменяет свой знак при инверсии координатных осей.

[Править]Лагранжиан

Действие   и лагранжиан (функция Лагранжа)   для пробного заряда, двигающегося во внешнем электромагнитном поле в системе СГС и СИ имеют вид ^[58] [59]:

СГС	СИ

где:

•  — масса частицы (в единицах СИ — кг);

•  — её скорость (в единицах СИ — м/с);

•  — заряд частицы (в единицах СИ — Кл);

•  — 4-х интервал.

Уравнения движения заряда под воздействием силы Лоренца в ковариантной записи имеют вид:

СГС	СИ

Уравнения Максвелла получаются из принципа наименьшего действия, в котором динамическими переменными являются 4-х потенциалы электромагнитного поля  . При этом используется следующее ковариантное выражение для действия^[59][60]:

СГС	СИ

где производится интегрирование по инвариантному 4-объёму  .