[Править]Потенциалы [править]Скалярный и векторный потенциалы

Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через скалярный   и векторный   потенциалы^[39]:

СГС	СИ

Доказательство  [показать]

При данных электрическом   и магнитном   полях, скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если   — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:

СГС	СИ

Подобные преобразования играют важную роль в квантовой электродинамике и лежат в основе локальной калибровочной симметрии электромагнитного взаимодействия. Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии, которая, в силу теоремы Нётер, приводит к закону сохранения заряда.

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых калибровкой. Благодаря этому, уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах с диэлектрической (ε) и магнитной ( ) проницаемостями. Для данных   и  всегда можно подобрать такую функцию f, чтобы выполнялось калибровочное условие Лоренца^[40]:

СГС	СИ

В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:

СГС	СИ

где   — оператор Д’Аламбера, который и в системе СГС, и в системе СИ имеет вид:

Таким образом, 8 уравнений Максвелла для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям (скалярному для   и векторному для  ). Решения этих уравнений для произвольно двигающегося точечного заряда называются потенциалами Лиенара — Вихерта^[41].

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказываетсякулоновская калибровка:

В этом случае:

СГС	СИ

,

где   — соленоидальная часть тока ( ).

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка неинвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает квантование поля в гамильтоновом формализме^[42].

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).