4.4.1. Симплексный метод выбора оптимальных решений

При решении ряда задач, связанных с принятием оптимальных решений, в том числе по обеспечению устойчивости ОЭ в ЧС, может применяться ряд методов, в частности методы линейного программирования. В простейших случаях при наличии двух-трех переменных может быть применен геометрический метод, в более сложных – симплексный метод. Задача в этих случаях заключается в отыскании наибольшего или наименьшего значений целевой функции устойчивости при наличии линейных ограничений.

Ограничения обычно задаются системой линейных уравнений

, (А)

среди неотрицательных решений которой необходимо найти такие, которые максимизировали бы целевую функцию

L=C₀+C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n.

Если выразить x₁, x₂, …, x_r (r<m) через остальные переменные, то получим

, (Б)

где , , …, .

При задании ограничительных условий неравенствами, их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательных переменных, называемых балансовыми (выравнивающими). Так, например, неравенство a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n<b₁ преобразуется в равенство с добавлением к его левой части некоторой величины x_n+1>0, т.е. a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+x_n+1=b₁. Если ограничительные условия задаются смешанным образом, т.е. неравенствами и уравнениями, их таким же образом сводят только к уравнениям. Переменные x₁, x₂, …, x_r называются базисными, а весь набор { x_1, x₂, …, x_r} базисом. Остальные переменные называются свободными, а система ограничений (Б) – системой, приведенной к единичному базису.

Подстановка в целевую функцию L вместо базисных переменных их выражений через свободные из системы (Б) приводит ее к виду

L=γ₀+γ_r+1x_r+1+…+γ_nx_n.

Полагая все свободные переменные равными нулю, находят значения базисных переменных:

, , …, .

Таким образом, получается решение системы ( , , …, , 0, …, 0), которое называется базисным. Для полученного базисного решения значение целевой функции будет равно L_Б=γ₀. Решение задачи при помощи симплексного метода располагается на ряд шагов, заключающихся в том, что от данного базиса Б переходят к другому базису Б^/ с таким расчетом, чтобы значение L_Б уменьшалось или, по крайней мере, не увеличивалось, т. е. . Рассмотрим идею метода на примерах.

Пример.

Для герметизации административных помещений и цехов с целью защиты производственного персонала при химическом и радиоактивном заражении и обеспечения устойчивости ОЭ при радиационных и химических авариях выделено 85 тысяч рублей. На герметизацию административного помещения требуется 5 тыс. рублей, цеха 10 тыс. рублей. Найти оптимальный вариант выполнения работ, обеспечивающий укрытие наибольшего количества производственного персонала, если вместимость административного помещения 60 чел., цеха – 50 чел. На заводе 3 административных помещения и 8 цехов.

Решение.

Предположим, что решение задачи достигается при герметизации х₁ административных помещений и х₂ цехов. Тогда имеем следующие ограничения на переменные х₁ и х₂

.

Целевая функция будет иметь вид L=60x₁+50x₂.

Преобразуем смешанную систему ограничений в систему ограничений в виде уравнений, введя новые переменные х₃ и х₄,

.

Определим ранг матрицы из коэффициентов при переменных системы

D₁=1; ; .

И, следовательно, ранг матрицы равен 3. Поэтому выберем за базисные переменные х₁, х₂ и х₃ и перейдем к единичному базису.

.

Первое допустимое решение будет при х₄=0, х₁=1, х₂=8, х₃=2. При этих значениях переменных L=60·1+50·8=460 чел.

Судя по третьему уравнению, увеличения значения целевой функции можно достигнуть путем увеличения х₄ до 1. Тогда при х₄=1, х₁=3, х₂=7, х₃=0 имеем L=60·3+50·7=530 чел.

Второе допустимое решение (3, 7, 0, 1); х₁=3-х₃, х₂=7+0,5·х₃, х₄=1-0,5·х₃ и L=60·(3-х₃)+50·(7+0,5·х₃)=530-35х₃.

Коэффициент при х₃ в целевой функции отрицателен, а поэтому ее дальнейшие увеличение невозможно. Следовательно, оптимальное решение х₁=3, х₂=7 и L=530 чел.

Для осуществления итерационных операций могут применяться симплексные таблицы. Для этого систему ограничений сводят к единичному базису

,

а целевую функцию – к виду L+γ_r+1x_r+1+…+γ_jx_j+…+γ_nx_n=γ₀. Полученные данные сводят в таблицу

Базисные переменные	Свободные члены	x1	…	xi	…	xr	xr+1	…	xj	…	xn
x1	b1	1	…	0	…	0	a1,r+1	…	a1,j	…	a1,n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xi	bi	0	…	1	…	0	ai,r+1	…	ai,j	…	ai,n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xr	br	0	…	0	…	1	ar,r+1	…	ar,j	…	ar,n
L	γ0	0	…	0	…	0	γr+1	…	γj	…	γn

Равенство для функции L называется приведенным (к свободным переменным) выражением, а коэффициенты γ_о – оценками (индексами) соответствующих свободных переменных x_j.

Алгоритм итерационных операций:

1. Выбирается разрешающий столбец a_p из условия чтобы была γ_p<0 и хотя бы один элемент a_ip>0.

2. Выбирается q-я разрешающая строка из условия

для a_ip>0.

3. Производится перерасчет элементов разрешающей q-й строки по формуле

(k=0, 1, …, n).

4. Вычисляются элементы всех остальных строк (при k≠p) по формуле

(i=0, 1, …, q–1, q+1, …, r).

При проведении итераций руководствуются основной теоремой симплексного метода, которая говорит о следующем:

Если после выполнения очередной итерации:

1. Найдется хотя бы одна отрицательная оценка и в каждом столбце с такой оценкой будет хотя бы один положительный элемент, т.е. γ_k<0 для некоторых k и a_ik>0 для тех же k и некоторого i, то можно улучшить решение, выполнив следующую итерацию.

2. Найдется хотя бы одна отрицательная оценка, столбец которой не содержит положительных элементов, т.е.

для какого-то k и всех i, то функция L не ограничена в области допустимых решений (L_max→∞).

3. Все оценки окажутся неотрицательными, т.е. γ_k>0 для всех k, то достигнуто оптимальное решение.

Пример.

Для повышения противопожарной устойчивости ОЭ необходимо осуществить переподготовку инженерно-технических работников и рабочих. Определить максимально возможное количество производственного персонала, который может пройти переподготовку, если на обучение 3-х групп инженерно-технических работников можно затратить не более 18 тыс. руб., 3-х групп рабочих – 15 тыс. руб. По условиям организации, осуществляющей переподготовку, количество обучаемых в 2-х группах инженерно-технических работников и группе рабочих не должно превышать 13 чел., а в двух группах инженерно-технических работников и 3-х группах рабочих – 19 чел., при общем количестве переподготавливаемых групп ИТР – 7, рабочих – 5.

Решение.

Обозначим количество человек в группах инженерно-технических работников, прошедших переподготовку, через х₁, в группах рабочих через х₂. Тогда система ограничений и целевая функция могут быть представлены в виде:

, L=7x₁+5x₂.

Преобразуем систему ограничений, заданную неравенствами, в систему уравнений

.

Определим ранг матрицы системы уравнений , для чего вычислим ее миноры.

D₁=2, =2·1–2·3=–4,

=2·1·0+3·0·0+1·2·3–1·1·0–2·0·3–3·2·0=6,

т.е. ранг матрицы (наибольший порядок который могут иметь ее миноры, не обращающиеся в ноль) равен 4.

Ранг расширенной матрицы также равен 4.

Поэтому четыре переменные (базисные) можно выразить через две (свободные), т.е.

.

Целевую функцию представим в виде L–7x₁5x₂=0. Она уже выражена через свободные переменные.

Имеем исходную табл.1:

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х3	19	2	3	1	0	0	0
х4	13	2	1	0	1	0	0
х5	15	0	3	0	0	1	0
х6	18	3	0	0	0	0	1
L	0	–7	–5	0	0	0	0

Выясняем, имеются ли в последней (индексной) строке отрицательные оценки. Таких чисел два: –7 и –5. Выбираем любое, например –5, и просматриваем тогда столбец х₂. В этом столбце есть три положительных элемента 3, 1, 3. В соответствии с методикой делим на эти числа соответствующие свободные члены получая 19/3, 13/1, 15/3. Из полученных частных наименьшее 15/3, поэтому разрешающим является элемент 3 на пересечении строки х₅ и столбца х₂. Выделяем эту строку и столбец рамками. Новый базис будет состоять из х₃, х₄, х₂ и х₆. Для составления следующей таблицы (табл.2) умножаем выделенную строку в табл.1 на 1/3 для того, чтобы получить на месте разрешающего элемента 1. Полученную таким образом строку пишем в табл.2 на месте прежней. К каждой из остальных строк в табл.1 прибавляем строку для х₅ в табл.1, умноженную на такое число, чтобы в клетках столбца х₂, появились нули, и пишем преобразованные строки в табл.2 на месте прежних. Этим завершаем первую итерацию.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х3	4	2	0	1	0	–1	0
х4	8	2	0	0	1	–1/3	0
х5	5	0	1	0	0	1/3	0
х6	18	3	0	0	0	0	1
L	25	–7	0	0	0	5/3	0

Повторяем все рассуждения применительно в табл.2, т.е. выполняем вторую итерацию. В последней строке единственная отрицательная оценка –7. Просматриваем столбец х₁ и делим на три положительных элемента 2, 2, 3 соответствующие свободные члены, получаем 4/2, 8/2, 18/3. Из полученных частных наименьшее 4/2. Следовательно, разрешающим является элемент 2, находящийся на пересечении строки для х₃ и столбца для х₁. Выделяем эту строку и столбец рамками. Новый базис будет состоять из х₁, х₄, х₂, х₆.

Для составления следующей таблицы умножаем выделенную строку табл.2 на 1/2, чтобы получить на месте разрешающего элемента 1 и полученную таким образом строку пишем в следующей табл.3 на месте прежней. К каждой из остальных строк прибавляем строку для х₃ в табл.2, умноженную на такое число, чтобы в клетках столбца х₁ появились нули и пишем преобразованные строки на месте прежних в табл.3. Завершаем этим вторую итерацию и переходим к следующей таблице.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х1	2	1	0	1/2	0	–1/2	0
х5	4	0	0	–1	1	2/3	0
х2	5	0	1	0	0	1/3	0
х6	12	0	0	–3/2	0	3/2	1
L	39	0	0	7/2	0	–11/6	0

То же повторим применительно к табл.3. Разрешающим элементом в табл.3 является элемент 2/3, находящийся на пересечении строки для х₄ и столбца для х₅. завершаем итерацию и переходим к табл.4, т.е. делим на три положительных 2/3, 1/3 и 3/2 соответствующие свободные члены 4, 5 и 12, находим наименьшее 6 и разрешающий элемент 2/3, находящийся на пересечении строки для х₄ и столбца для х₅, выделяем эту строку и столбец рамками, находим новый базис х₁, х₅, х₂ и х₆, умножаем выделенную строку табл. на 3/2, чтобы получить на месте разрешающего элемента 1. Полученную умножением строку записываем в табл.4 на ее прежнем месте, к каждой из остальных строк прибавляем строку для х₄ в табл.3, умноженную на такое число, чтобы получить в клетках столбца х₅ нули, т.е. на числа: для х₁ в табл.3 «3/4», для х₂ в табл.3 «–1/2», х₆ в табл.3 «–9/4», L в табл. 3 «11/4». Получаемые результаты записываем в табл. 4.

Таблица 4

Базисные переменные	Свободные члены	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х3	5	1	0	–1/4	3/4	0	0
х4	6	0	0	–3/2	3/2	1	0
х5	3	0	1	1/2	–1/2	0	0
х6	3	0	0	3/4	–9/4	0	1
L	50	0	0	3/4	11/4	0	0

Отсутствие в последней (индексной) строке отрицательных оценок свидетельствует о достижении оптимального решения (5, 3, 0, 0, 6, 3) и наибольшем возможном значении целевой функции L, равном 50 (L_max=50), т.е. наибольшее количество производственного персонала, которое возможно переподготовить при условиях задачи, равно 50 чел.