§9. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и не равная нулю.

Снова выберем фокусы в точках F₁(-c,0) и F₂(c,0) (c > 0) , а модуль разности расстояний обозначим через 2а (2a < 2 c). Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:

После проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получим

каноническое уравнение гиперболы:

y Из уравнения сразу следует, что

b При гипербола имеет асимптоты .

а F₂ x Эксцентриситет гиперболы определяется так же, как и

у эллипса, и равен

рис.6

Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения

следующего вида: Центр таких гипербол находится в точке (х₀,у₀), а

−1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 90⁰ .

2. Уравнение описывает две пересекающиеся прямые.

3. «Школьное» уравнение гиперболы представляет собой частный случай, когда ось

гиперболы повернута на 45⁰, а асимптотами являются координатные оси.

Пример. Определить вид и характеристики кривой:

§10. Парабола.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой параболы.

у Пусть фокус имеет координаты (p/2,0): F(p/2,0), а директриса

записывается уравнением х = −р/2. Расстояние между фокусом

•M(x,y) и директрисой равно р − параметру параболы (рис.7).

Точки параболы удовлетворяют уравнению:

−р/2 F х

После простых преобразований получим каноническое уравнение

параболы: у² = 2рх.

Рис.7

§11. Кривые второго порядка – заключение.

В предыдущих параграфах были рассмотрены три вида кривых второго порядка: эллипсы,

гиперболы и параболы, а также их частные и вырожденные случаи. Два первых вида называют

центральными кривыми. Параболы – не центральные. Можно доказать (это будет сделано

позже), что этими тремя видами исчерпываются все кривые второго порядка. Из примера §8 видно, что слагаемые 1 – ой степени в уравнении кривой (§6) влияют только на параллельный перенос кривых. В дальнейшем будет доказано, что слагаемое 2Вху определяет поворот

кривой вокруг начала координат.