§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.

Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, например z. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными: f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскости XOY. Любой точке этой кривой (x^*,y^*) , будет соответствовать некоторое

значение z^*, при котором точка (x^*,y^*, z^*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:

Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихся переменных.

Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностей и на

плоскость YOZ. {Исключим х: гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, что верхняя ветвь, }

§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

§22. Эллипсоид.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением , коэффициенты А, В и С − числа одного знака, а L имеет знак им противоположный.

При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:

где .

Для определения формы эллипсоида применим метод сечений. Пусть z = h фиксировано.

С ечение эллипсоида плоскостью z = h будет иметь вид − эллипс с данными полуосями. Отсюда следуют несколько выводов:

1) ; при h = c эллипс вырождается в точку.

2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h = 0.

3) Аналогичная картина будет иметь место в сечениях

x = h или y = h. (рис.11)

рис.11

Как и в случае эллипса, числа a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если они все разные, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы получим эллипсоид вращения (§19). В случае равенства всех полуосей – имеем сферу: .