3. Арифметична прогресія

3.1. Поняття арифметичної прогресії

Часто пояснюють, що «арифметичною прогресією називається така числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число». Означення арифметичної прогресії можна дати й так: арифметичною прогресією називається кожна числова послідовність, задана рекурентною формулою , де d - стале число. Це число називається різницею прогресії.

Можна зробити наголос і на функціональному трактуванні арифметичної прогресії, тоді краще починати пояснення так:

- Ми знаємо з означення числової послідовності, що це функція, задана на множині натуральних чисел. Але функції бувають лінійні, квадратні та інші. Зараз ми детально розглянемо лінійну функцію, задану на множині натуральних чисел.

Відомо, що лінійною називають функцію, задану рівністю . Якщо ж у цій формулі аргумент х пробігатиме тільки множину натуральних чисел, значення функції становитимуть арифметичну прогресію. Правда, аргумент функції, заданої на множині натуральних чисел, частіше позначають буквою п, а не х. Тому можна сказати і так: послідовність, задану формулою , де а і b - дані числа, а п - змінна, яка може набувати тільки натуральних значень, називається арифметичною прогресією. Наприклад, формула визначає таку арифметичну прогресію:

5, 8, 11, 14, 17, ... .

Після цього можна ввести поняття різниці арифметичної прогресії, записати арифметичну прогресію у вигляді

Звідки індуктивно дістати формулу її загального члена:

Але можна вивести її також з рекурентної формули Для цього треба записати формулу при п = 2, 3, ... , п і додати рівностей:

+ . . . . . . . . . . . . .

_____________________

Бажано дати учням і символічне позначення арифметичної прогресії ÷. Нагадуємо, що кілька перших членів послідовності не визначають її однозначно. Тому, коли написано, наприклад,

3, 11, 19, 27, 35. 43, ... .

це ще не означає, що написано арифметичну прогресію. Якщо ж перед цією послідовністю поставити знак ÷, то дістанемо цілком визначену послідовність.

3.2. Сума п членів арифметичної прогресії

Формулу

в усіх посібниках виводять однаково. Спочатку показують, що сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від початку і кінця, дорівнює сумі першого і останнього членів. Але перед цим краще розглянути конкретний приклад.

- Нехай треба знайти суму членів такої скінченної арифметичної прогресії:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17.

Це можна зробити і послідовним додаванням. Проте краще згрупувати ці числа: перше з останнім, друге з передостаннім і т. д.

S=(3+17)+(5+15)+(7+13)+(9+11)=20·4=80.

У цій арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від початку і кінця, рівні між собою. Це і дало можливість спростити обчислення. Таку властивість має кожна арифметична прогресія.

Після цього можна навести і загальні міркування.

Розглянемо довільну арифметичну прогресію