
- •0501 Економіка і підприємництво
- •1. Загальні рекомендації щодо виконання контрольної роботи
- •2. Розрахункове завдання №1
- •7. Рекомендована література
- •2. Розрахункове завдання №1
- •Основні теоретичні положення
- •Завдання
- •Порядок виконання роботи
- •Звіт повинен містити
- •Приклад розрахунку множинного рівняння регресії
- •3. Розрахункове завдання №2
- •Основні теоретичні положення
- •Завдання
- •Порядок виконання роботи
- •Звіт повинен містити
- •Приклад розрахунку логістичної функції попиту
- •4. Розрахункове завдання №3
- •Основні теоретичні положення
- •Завдання
- •Порядок виконання роботи
- •Звіт повинен містити
- •Приклад розрахунку економетричної моделі з фіктивними змінними
- •5. Розрахункове завдання №4
- •Основні теоретичні положення
- •Завдання
- •Порядок виконання роботи
- •Звіт повинен містити
- •Приклад розрахунку економетричної моделі з урахуванням гетероскедастичності
- •6. Розрахункове завдання №5
- •Основні теоретичні положення
- •Завдання
- •Порядок виконання роботи
- •Звіт повинен містити
- •Приклад розрахунку множинних і поодиноких коефіцієнтів кореляції
- •7. Рекомендована література
6. Розрахункове завдання №5
Тема: розрахунок множинних і часткових коефіцієнтів кореляції
Мета: надбання навичок розрахунку множинних і часткових коефіцієнтів кореляції.
Основні теоретичні положення
Багатофакторна економетрична модель містить одну результативну ознаку (у) і m факторних ознак (х1, х2, …, хm). Між кожною парою ознак існує кореляційний зв'язок, який можна вимірити кількісно парним коефіцієнтом кореляції
,
;
,
.
З
цих коефіцієнтів кореляції можна скласти
кореляційну матрицю
Під час побудови цієї матриці керуються таким правилом:
ознаки нумерують в такому порядку:
у |
х1 |
х2 |
… |
хm , |
1 |
2 |
3 |
… |
m+1 ; |
Таким чином, i-ому рядку (стовпцю) відповідає (i–1)-а факторна ознака хi-1;
на перетинанні i-ого рядка і j-го стовпця поміщаємо коефіцієнт кореляції між (i-1)-ою і (j-1)-ою ознаками.
Коефіцієнтам кореляції притаманні дві основні властивості:
коефіцієнт кореляції ознаки із самою собою дорівнює 1.
;
.
Дійсно,
.
Аналогічно
для
;
значення коефіцієнта кореляції не залежить від порядку проходження ознак
;
.
Ця властивість випливає з формули коефіцієнта кореляції, у якій зміна порядку проходження ознак приводить до перестановки співмножників, від чого добуток не змінюється.
З цих двох властивостей коефіцієнтів кореляції випливають такі властивості кореляційної матриці:
елементи головної діагоналі кореляційної матриці дорівнюють 1;
матриця симетрична щодо головної діагоналі, тобто не змінюється при транспонуванні.
Таким чином, в остаточному виді кореляційну матрицю можна записати так:
.
Множинний коефіцієнт детермінації визначає частку варіації результативної ознаки (у), що пояснюється варіацією всієї сукупності факторних ознак (х1, х2, …, хm). Обчислюють множинний коефіцієнт детермінації за формулою
, (1)
де
– визначник кореляційної матриці;
А1,1 – алгебраїчне доповнення до елемента матриці, що знаходиться на перетинанні 1-ого рядка і 1-го стовпця.
Алгебраїчне доповнення Ai,j обчислюється за такою формулою
i,
j
тобто алгебраїчне доповнення Ai,j обчислюється з визначника кореляційної матриці, у якій викреслені i-ий рядок і j-ий стовпець.
Множинний коефіцієнт кореляції R вимірює тісноту кореляційного зв'язку результативної ознаки (у) із усією сукупністю факторних ознак (х1, х2, …, хm)
. (2)
При
обчисленні парних коефіцієнтів кореляції
передбачається,
що вся зміна у
викликана впливом фактора xk.
У дійсності це не так, оскільки на зміну
у
крім xk
впливають і інші ознаки. Тому істинну
тісноту кореляційного зв'язку між у
і кожною з факторних ознак (х1,
х2,
…, хm)
у випадку множинної кореляції виміряється
частковими
коефіцієнтами
кореляції
. (3)
При розрахунку поодиноких коефіцієнтів кореляції за допомогою Excel можна використовувати і метод, що заснований на обчисленні зворотної матриці. Дійсно, якщо
,
д
е
p=m+1, то зворотна матриця
буде
дорівнювати
,
де
.
Остання рівність пояснюється симетричністю
кореляційної матриці.
Тоді поодинокий коефіцієнт кореляції
, (4)
що еквівалентно формулі (2), тому що
.
Таким чином, існує два такі способи розрахунку часткових коефіцієнтів кореляції:
розрахунок за формулою (2).
розрахунок матриці, зворотної до кореляційної матриці, і обчислення за формулою (3).