Взаимное расположение прямых в пространстве
|
|
|
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку. |
Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются) |
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β. |
|
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β. |
|
Свойства параллельных плоскостей
Вели α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. |
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. |
Тестовые задания по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»
1Курс. Параллельность в пространстве
1. Сколько существует плоскостей, проходящих через данные прямую и точку в пространстве?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или бесконечно много |
|
(2–3) Точки K, E, M, H – середины ребер AB, BC, CD, DA тетраэдра ABCD (рис. H.4.1.14.1).
2. Каково взаимное расположение прямых KE и MH?
(А) пересекаются |
(В) скрещиваются |
(Б) параллельны |
(Г) могут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися (в зависимости от вида тетраэдра) |
3. Каково взаимное расположение прямых KM и BC?
(А) пересекаются |
(В) скрещиваются |
(Б) параллельны |
(Г) возможны все три случая (А) – (В) |
(4–7) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. H.4.1.14.2).
4. Каково взаимное расположение прямых AB1 и BD1?
(А) скрещиваются |
(В) параллельны |
(Д) определить нельзя |
(Б) пересекаются |
(Г) пересекаются или параллельны |
|
5. Какие из прямых b = BB1, c = CC1, d = D1C1 скрещиваются с прямой a = AB?
(А) только b |
(В) только c и d |
(Д) все три прямые b, c, d |
(Б) только c |
(Г) только b и c |
|
1 |
Рисунок M.3.4.1 |
2 |
Рисунок M.3.4.2 |
6. Каково взаимное расположение прямой B1C1 и плоскости BDA1?
(А) параллельны |
(В) пересекаются или параллельны |
(Б) пересекаются |
(Г) ответ отличен от (А) – (В) |
7. Каково взаимное расположение плоскостей BDA1 и B1D1C?
(А) параллельны |
(В) пересекаются или параллельны |
(Б) пересекаются |
(Г) ответ отличен от (А) – (В) |
8. В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных прямой a?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
9. Даны плоскость и точка M вне плоскости. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскости?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или бесконечно много |
|
10. Даны параллельные прямая a и плоскость α. Сколько существует плоскостей, проходящих через a и параллельных α?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
11. В пространстве даны две параллельные прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и параллельных прямой b?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
12. Даны две пересекающиеся плоскости α, β и не лежащая на них точка M. Сколько существует прямых, проходящих через M и параллельных плоскостям α и β?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 0 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
13. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует пар параллельных плоскостей, одна из которых проходит через a, а другая – через b?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 0 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
14. В пространстве даны две пересекающиеся прямые a, b и не лежащая на них точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и параллельных прямым a и b?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 0 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
15. Точки A, B и середина M отрезка AB проектируются в точки A1, B1 и M1. Чему равна длина отрезка MM1, если AA1 = 3 см, B1B = 7 см?
(А) 5 см |
(В) 2 см |
(Д) ответ отличен от указанных |
(Б) 4 см |
(Г) 5 см или 2 см |
|
16. В пространстве даны прямая a и точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и перпендикулярных прямой a?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
17. Даны плоскость α и не лежащая в ней прямая a. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и перпендикулярных плоскости α?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
18. Даны три параллельные плоскости α, β, γ. Расстояние между α и β равно 3, расстояние между β и γ равно 5. Чему равно расстояние между плоскостями α и γ?
(А) 2 |
(В) 8 |
(Д) 4 или 8 |
(Б) 4 |
(Г) 2 или 8 |
|
19. В пространстве даны три параллельные прямые a, b, c. Расстояние между a и b равно 2, расстояние между b и c равно 6. Чему равно расстояние x между прямыми a и c?
(А) 0 < x < 6 |
(В) 2 < x < 8 |
(Д) 4 < x < 6 |
(Б) 0 < x < 8 |
(Г) 4 < x < 8 |
|
20. Известно, что прямая a параллельна прямой b, а прямая b пересекается с плоскостью γ. Каково взаимное расположение прямой a и плоскости γ?
(А) обязательно пересекаются |
(В) пересекаются или параллельны (т. е. могут и пересекаться, и быть параллельными) |
(Б) обязательно параллельны |
(Г) ответ отличен от (А) – (В) |
21. Известно, что прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой c. Каково взаимное расположение прямых a и c?
(А) обязательно параллельны |
(В) параллельны или скрещиваются |
(Д) параллельны или совпадают |
(Б) обязательно скрещиваются |
(Г) параллельны, скрещиваются или пересекаются |
|
22. Известно, что прямая a параллельна прямой b, а прямая b параллельна плоскости γ. Каково взаимное расположение прямой a и плоскости γ?
(А) обязательно параллельны |
(В) параллельны или пересекаются |
(Б) обязательно пересекаются |
(Г) ответ отличен от (А) – (В) |
23. Известно, что плоскость α параллельна прямой β, а прямая β параллельна плоскости γ, отличной от α. Каково взаимное расположение плоскостей α и γ?
(А) обязательно параллельны |
(В) параллельны или пересекаются |
(Б) обязательно пересекаются |
(Г) ответ отличен от (А) – (В) |
24. Даны три различные прямые a, b и c. Известно, что a скрещивается с b, a b скрещивается с прямой c. Каково взаимное расположение прямых a и c?
(А) обязательно скрещиваются |
(В) скрещиваются, пересекаются или параллельны |
(Д) ответ отличен от указанных |
(Б) скрещиваются или пересекаются |
(Г) скрещиваются или параллельны |
|
25. Даны две скрещивающиеся прямые a, b и не лежащая на них точка M. Сколько существует плоскостей, проходящих через M и параллельных прямым a и b?
(А) 0 |
(В) 0 или 1 |
(Д) О, 1 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1,2 |
|
26. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует плоскостей, проходящих через прямую a и перпендикулярных прямой b?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 0 или бесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или 1 |
|
27. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b и c. Сколько существует прямых, пересекающих все эти три прямые?
(А) 0 |
(В) бесконечно много |
(Д) 1 илиcбесконечно много |
(Б) 1 |
(Г) 0 или бесконечно много |
|
28. На ребрах AD, AB и CD тетраэдра ABCD произвольно взяты точки K, E, M. Какие ребра, кроме трех указанных, пересекает плоскость KEM?
(А) AC |
(В) BD |
(Д) определить нельзя |
(Б) BC |
(Г) никакие |
|
29. Какие из следующих фигур можно получить как параллельную проекцию куба: I – ромб (не квадрат), II – правильный 5-угольник, III – правильный 6-угольник?
(А) только фигуру I |
(В) фигуры II и III |
(Д) все три фигуры |
(Б) фигуры I и II |
(Г) фигуры I и III |
|