4.5 Утворення зон кристала. Класифікація твердих тіл згідно зонної теорії

При зближенні атомів дискретні енергетичні рівні окремих електронів розщеплюються, зміщуються і утворюють зони, в яких електрони можуть переміщатись в залежності від степеня заповненості цих зон.

Причиною розщеплення енергетичних рівнів електронів є їх взаємодія з електричним полем кристалічної гратки.

В першу чергу розщеплюються енергетичні рівні електронів, що знаходяться далеко від ядра, тобто валентних електронів. В залежності від характеру розщеплення рівнів та степені заповнення зон тверді тіла поділяються на метали, діелектрики і напівпровідники.

За характером заповнення зон електронами всі тіла можна розділити на дві великі групи. До першої групи відносяться метали. У них: 1) над повністю заповненою зоною розташована зона, частково заповнена. Даний випадок реалізується, коли атомний рівень, із якого утворена зона, заповнений частково, наприклад, як у лужних металів, або 2) зони – пуста (заповнена частково) і повністю заповнена – перекриваються, як у лужноземельних елементів.

До другої групи відносяться тіла, у яких над цілком заповненою знаходиться пуста зона. По ширині забороненої зони тіла другої групи поділяються на діелектрики і напівпровідники.

В діелектриках валентна зона повністю заповнена електронами, а пуста зона провідності відокремлена від неї забороненою зоною шириною Е більше 3 еВ.

В напівпровідниках Е3 еВ.

При температурі Т>0 К електрони з великою імовірністю отримують достатню енергію, щоб перейти в пусту зону. Якщо ширина забороненої зони є малою, то це легко здійснюється під дією теплоти або радіації.

Характер заповнення зон для різних груп показано на рис. 4.6.

4.6 Елементи квантової теорії металів. Надпровідність

4.6.1 Електропровідність металів

Квантовомеханічний розрахунок показує, що у випадку ідеальної гратки електрони провідності не повинні розсіюватись при своєму русі, тобто електроопір має бути рівним нулю (електропровідність – нескінченна). Однак кристалічна гратка завжди має дефекти, зумовлені наявністю домішок або вакансій (відсутність атомів у вузлах кристалічної гратки), а також тепловими коливаннями гратки. Питомий опір металів можна записати за правилом Матісена у вигляді: , де _кол – опір, зумовлений тепловими коливаннями гратки. Він зменшується із зменшенням температури. _дом – опір, зумовлений домішками. При їх малій концентрації практично не залежить від температури.

Нами раніше (див. Конспект лекцій, розділ електродинаміка) було отримано класичний вираз для питомої електропровідності: , де - середній час вільного пробігу електрона, m – звичайна маса електрона.

Квантова теорія дає схожий за виглядом вираз: , де n^* - концентрація електронів, які займають стани поблизу рівня Фермі і здатні переносити електричний струм; ^* - час релаксації – це час, протягом якого встановлюється рівноважний стан електронів під дією зовнішньої сили (зовнішнього поля напруженістю ), ^*~; m^* - ефективна маса – величина, яка відіграє формально роль маси по відношенню до зовнішньої сили. Вона визначається другою похідною енергії електрона в металі по хвильовому вектору і дорівнює: .

Поняття ефективна маса вводиться, щоб можна було застосувати закони класичної механіки для опису поведінки електронів в кристалах. При цьому в якості сили, що діє на електрон, береться тільки зовнішня сила , хоч на електрон діє і сила, зумовлена полем кристалічної гратки. Ефективна маса може бути не тільки додатньою, а й від’ємною величиною в залежності від положення електрона в зоні. Отже, співвідношення, отримані для вільних електронів, виявляються справедливими для електрона, що рухається в періодичному полі, якщо замінити істинну масу на ефективну m^*.