§ 2. Изоморфизм графов.

Пусть G(V, Е) и G’ = (V’, Е’) – два графа. Скажем, что эти два графа изоморфны, если существует пара биективных отображений : V V’, : ЕЕ’ таких, что для любого ребра е = (v₁, v₂)Е (е) = ((v₁), (v₂)). Иными словами, отображение  переводит ребро, соединяющее две вершины, в ребро, соединяющее образы этих вершин при отображении .

Изоморфными могут быть на первый взгляд непохожие друг на друга графы.

Примеры. 1

И зоморфизм этих двух графов задается отображением вершин : x_iу_i, i =1,2,3,4; ребро (х_i, х_j) переводится отображением  в ребро (у_i,у_j). Заметим, что данные графы являются полными, то есть вместе с любыми двумя вершинами содержат единственное соединяющее их ребро. Полные графы с n вершинами обозначаются K_n. Ясно, что любые два полных графа с одинаковым количеством вершин изоморфны.

Изоморфизм этих двух графов зададим отображением вершин с помощью подстановки:

(вершина х_i переходит в вершину у_i расположенную под ней; ребро (х_i, х_k) переходит в соответствующее ребро (у_j, у_l), где х_i переходит в у_j, а х_k — в у_l). Как устроен этот изоморфизм ясно: семиугольник с вершинами х₁,…,х₇ переходит в ломаную, составленную из диагоналей семиугольника с вершинами у,…,у; наоборот — диагонали семиугольника слева переходят в стороны семиугольника справа.

Я сно, что у изоморфных графов должно быть одинаковое число вершин и ребер. Однако этого условия не достаточно для изоморфизма. Пусть, например, последовательность ребер образует цикл, то есть конец каждого предыдущего ребра является началом последующего и конец последнего ребра совпадает с началом первого; число ребер последовательности называется длиной цикла (точные определения см. в § 5). Очевидно, при изоморфизме цикл переходит в цикл той же длины. Значит, у изоморфных графов должно быть одинаковое число циклов определенной длины. Следующие два графа

неизоморфны, так как у одного из них два цикла длины 4, а у другого – один.

§ 3. Степени вершин графа

В этом пункте граф будет предполагаться неориентированным.

Степенью вершины графа называется количество ребер, инцидентных вершине. Необходимо, однако, уточнить понятие степени в случае, когда среди ребер, инцидентных данной вершине, есть петля. Можно считать петлю за одно ребро, а можно — за два (подразумевая, что петля имеет «два входа» в вершину). В первом случае степень вершины будет обозначаться , во втором — .

П ример.

Для вершины данного графа , .

Теорема. Пусть граф имеет ребер и вершин . Тогда

.

Доказательство: В самом деле, каждое ребро, не являющееся петлей, инцидентно двум вершинам, следовательно, входит в данную сумму два раза; петли также дважды учитываются в этой сумме.

Следствие.

Число вершин графа нечетной степени четно.

Уже эта простая теорема позволяет решить ряд интересных задач.

Пример. Утверждают, что в одной компании из 7 человек каждый знаком с тремя и только тремя другими. Возможна ли такая компания?

Построим граф знакомств для этой компании, сопоставив каждому из 7 человек вершину, которая соединяется ребрами со знакомыми ему людьми (вершинами). Степень каждой из 7 вершин равна 3. Согласно теореме этого быть не может.