12.Число е

Пусть Хn=(1+1/n)^n, n=1,2...

Покажем что эта последовательность ограничена и монотонно возрастает, тем самым будет доказано, что она имеет предел.

По формуле Ньютона имеем:

Xn=1+n * 1 + n(n-1) * (1)^2 +...+(1)^n = 1+1+1*(1-1)+1*(1-1)*(1-2)+...+1

1! n 2! (n) (n) 2! n 3! n n n^n

Xn+1=1+1 * 1 * (1- 1 ) + 1 * (1- 1 ) * (1- 2 )+...+ 1 . * 1 .

2! n+1 3! n+1 n+1 (n+1)^n-1 (n+1)^n+1

соответствующие члены в сумме для Хn+1 не меньше, чем члены для Хn, поэтому Xn<Xn+1 (n=1,2....), т.е последовательность возрастает.

Далее(используя для получения последнего неравенства формулы суммирования геометрической прогрессии) для любого n

Xn=2+ 1 * (1- 1 ) + 1 * (1- 1 ) * (1- 2 )+...+ 1 < 2+ 1 + 1+...+1 < 2+(1/2)+(1/2^2)+...+

2! n 3! n n n^n 2! 3! n!

+(1/2^n-1)<2+1=3

Монотонная неубывающая последовательность ограничена числом 3. Поэтому по теореме о монотонной ограниченной последовательности переменная Хn имеет предел е, причем 2<e<3 т.е е=2,718281828....

13. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.

Пусть {Xn} произвольная числовая последовательность. Рассмотрим возрастающую бесконечную последовательность целых положительных чисел n1, n2,...nk... Таких последовательностей бесконечно много. Выберем из последовательности {Xn} новую последовательность {Xnk}={Xn1,Xn2...Xnk...}. Последовательность {Xnk} при k=1 называется подпоследовательностью последовательности {Xn}. Очевидны два свойства. Свойство 1. Если последовательность {Xn} сходится и имеет своим пределом число а, то и любая ее подпоследовательность сходится и имеет своим пределом число а, т.е ее пределом lim(k ) Xnk=a. Доказательство. Для любого >0 существует N такое, что при n>N выполняется неравенство |Xn-A|<. Но при nkN тоже выполняется неравенство |Xn-a|< при k>kN.

Свойство 2. Если все подпоследовательности данной последовательности {Xn} сходятся (все равно к какому числу), то пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу. Доказательство. Действительно, так как {Xn} есть частный случай последовательности {Xn} , то {Xn} имеет своим пределом Q. Можно дать другое эквивалентное определение предельной точки последовательности. Точка X называется предельной точкой последовательности {Xn} , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к Х.

Первое определение верхнего предела. Наибольшая предельная точка X ограниченной последовательности {Xn} называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом Х=lim(k ) Xn. Аналогично определяется предел для нижней последовательности. Существования верхнего предела и нижнего предела ограниченной последовательности доказано теоремой Вейерштрасса. Второе определение верхнего (нижнего) предела. Число Х называется верхним (нижним) пределом последовательности {Xn}, если существует подпоследовательность {Xnk}, сходящаяся к нему и при этом всякая другая сходящаяся подпоследовательность последовательности {Xn} сходится к числу не большему (не меньшему) чем Х. Из этого определения следует что {Xn} может иметь только один верхнй предел а1. Если допустить, что a2>a1, то подпоследовательность {Xnk} будет сходиться к а2, тогда утверждение что а1 есть верхний предел противоречит определению. Пример. Последовательность { n / (n+1)* (1+(-1)^n} ={0,(2*2)/3,0,(2*4)/5,0,(2*6)/7....} имеет две предельные точки: 0 и 2, так как из нее можно выделить подпоследовательность элементов имеющих нечетные номера (0,0,0...) и подпоследовтельность с четными номерами (2*2/3,2*4/5,2*6/7..) имеет одну предельную точку 2.