9. Предельный переход в неравенствах:

1. Если а_n b ∀n>n₀ и а_n>a, то a b. a= _n<b . Доказательство: пусть а>b, т.e. a-b>0. T.к. а_n>a , то для έ=a-b>0. n₁:∀nЄN₁ n>n₁=> |a_n-a|< a-b, выберем n₂ЄN: n₂>n₁ , n₂>n₀, |a_n2-a|<a-b или

b-a<|a_n2-a|<a-b, b< a_n2

Если а_n b_n ∀nЄN₁ n>n₀ и а_n>а, b_n>b, то а b. Доказательство: 1) а_n- b_n 0 ∀nЄN, n>n₀ согласно утверждению 1 имеем: a-b 0 или a b

Теорема о зажатой последовательности: если a_n x_n b_n ∀nЄN,n>n₀ и a_n>a, b_n>a, то x_n>a.

Т.к. а_n>a,то ∀ε>0 n_ε^»:∀nЄN,n> n_ε^»=>|a_n-a|<ε, т.е. –ε<|a_n-a|<ε или a-ε<a_n<a+ε.

Т.к. b_n>a,то ∀ε>0 n_ε^’:∀nЄN,n> n_ε^’=>|b_n-a|<ε или a-ε<b_n<a+ε ∀ε>0 n_ε=max{ n_ε^’_, n_ε^”_, n₀}. ∀nЄN,n>n_ε

a-ε a_n<x_n b_n<a+ε, a-ε<x_n<a+ε, -ε<x_n-a<ε, | x_n-a|<ε

Сходящаяся последовательность имеет только один предел

Доказательство

a и b – пределы сходящейся последовательности { }.

Тогда, =a+ , =b+ ,

Следовательно - b –a

Так как все элементы бесконечно малой последовательности { } имеют одно и тоже постоянное значение b-a, то b-a = 0, т.е. b=a. Теорема доказана.

Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: пусть {Xn} – сходящаяся последовательность и а – ее предел. Следовательно, имеем Xn=a+ n, где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность { } ограничена, то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство | |≤A. Поэтому |Xn|≤|a|+A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}. Теорема доказана.

10.Теорема о 2-х милиционерах.

Если начиная с некоторого номера последовательность Z_n удовлетворяет следующему неравенству x_n≤Z­_n≤y­_n , причем последовательность x_n и y­_n являются сходящимися к одному и тому же числу а, то последовательность Z_n заведомо тоже сходится, причем к тому же числу а. Доказательство: Если y­_n сходится к числу а и Z­_{n­ ­}сходится к числу а, то для любого >0 существует N₂ такое что для любых n>N₁; |y_n-a|</2; |x_n-a|</2 что |y_n- х_n |*|y_n-a -x_n+a |≤|y_n-a|+|x_n-a|≤ для любого  существует N₂: любое n>N₂ . |x_n-a|</2 .N>max(N­₁, N₂)

11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.

Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.

Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+

Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|

то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!

Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n

n! m! (m+1)