§ 7. Формулы Сохоцкого ( - Племеля)

Р ассмотрим предельные значения интеграла типа Коши при приближении к точке с разных сторон.

Пример:

Формулы Сохоцкого связывают между собой , , .

Теорема. Функция (непрерывная при , , )

1. Пусть вначале по некасательным направлениям к

Фиксируем малое

,

(Воспользуемся условием )

(возьмем , чтобы )

( , то )

( , , - непрерывна на )

Вначале выбираем столь малым, чтобы

Затем выбираем столь малым, чтобы

, ч.т.д.

т. е. по некасательным путям.

2. Надо избавится от стремления точки к точке по некасательным путям

Ф ункция непрерывна по , т.к.

интеграл - сходится

(по Т. Вейерштрасса) - непрерывна.

Пусть имеем ,

Пусть ближайшая к точке точка на кривой

Т огда принадлежит углу с вершиной в точке и величиной

Если , то

Формулы Сохоцкого

П усть ,

- непрерывна

Поэтому

(интеграл существует в смысле главного значения, через предел)

§ 8. Вычеты

Опр. Пусть - изолированная особая точка функции , возьмем окружность малого радиуса с центром в ( , чтобы внутри не было особых точек).

Тогда вычетом в называется интеграл

Если - устранимая особая точка, т.е. конечный предел , то

из теоремы Коши.

Если - особая (полюс, существенно особая) точка, то можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в окрестности

Все интегралы равны 0 кроме интеграла при

:

Основная теорема о вычетах

П усть аналитична в области , за исключением конечного числа особых точек, на границе нет особых точек.

Тогда

Доказательство:

1. 

2. Рассмотрим формулу Коши для области ,

Принцип аргумента

Пусть мероморфная функция в (могут быть полюса).

Тогда

,

где - число нулей функции внутри области с учетом кратности,

- аналогичное число полюсов.

- нуль кратности , то ,

- полюс кратности , то ,

- логарифмическая производная.

- многозначная функция.

- приращение аргумента.

Величина - индекс функции по кривой

(индекс считает число оборотов при обходе кривой )

Доказательство: - корень кратности

По теореме о вычетах

(сумма распространяется на все особые точки функции ).

Какие особые точки у функции ?

Если - корень , то - особая точка

, - кратность корня.

Если - полюс кратности

Потом надо просуммировать все вычеты.

Вычет функции в бесконечной точке ( ).

Если - изолированная особая точка

: нет других особых точек

, что при нет других особых точек, и интегрируем в положительном направлении относительно

Дополнение к теореме о вычетах

Если имеет конечное число особых точек, то в :

Доказательство: имеет конечное число конечных особых точек

: (по 1-й Теореме о вычетах)

+

, ч.т.д.

, где - коэффициент при при разложении в ряд Лорана в окрестности .

Замечание.

В окрестности : - правильная часть ряда Лорана

- главная часть ряда Лорана

В окрестности : - правильная часть ряда Лорана

- главная часть ряда Лорана

- в полюс.

Краевая задача Римана

То же самое понятие индекса применяется для функции по кривой .

Следствие из принципа аргумента

Пусть аналитична вне кривой , тогда

Пусть число нулей с учетом кратностей , тогда

Если

Ф ормулировка задачи Римана:

Пусть , - функция на (замкнутая).

Требуется найти две аналитических функции

внутри ,

вне

так, чтобы выполнялось:

• Для предельных значений на

• Однородная задача Римана ( )

I шаг. ,

(непрерывность по Гёльдеру)

Рассмотрим интеграл Коши

По формулам Сохоцкого

II шаг. Пусть имеем решение однородной задачи

Найдем индексы от обеих частей равенства

1. , предположим, что

функция однозначна, существует .

Решим задачу

По формулам Сохоцкого

2. ( - неоднозначная функция)

Обозначим , тогда

- аналитична внутри, - аналитична вне

аналитична во всей плоскости , на у неё полюс порядка

- полином.

Аппроксимация аналитических функций полиномами.

Пусть аналитическая функция в окрестности , тогда всюду в круге равномерно приближается полиномом.

М ожно разложить в ряд Тейлора в окрестности

- ряд сходится в круге сходимости ,

- ряд сходится в круге

Поэтому в качестве приближающих полиномов можно взять полиномы Тейлора – частичные суммы ряда Тейлора

Если аналитична в некоторой области , то можно ли приблизить нашу функцию полиномами?

Пусть - кольцо.

аналитична в , тогда раскладывается в ряд Лорана

Если , то слагаемые имеют вид - можно ли полиномом приблизить эту функцию?

в кольце не можем приблизить полиномами вида ,

Рассмотрим функцию на единичной окружности .

Требуется найти последовательность полиномов так, чтобы на :

Теорема. Такой последовательности полиномов не существует.

Доказательство: Докажем, что , что

Допустим, что такую константу нашли, тогда

Докажем существование константы

Теорема Рунге

Если аналитична в со связным дополнением, то равномерно приближается полиномами в любой области , компактно содержащейся в .

Доказательство:

I шаг. Докажем, что любую аналитическую в области можно приблизить рациональными функциями.

Рассмотрим интеграл Коши по границе области , тогда

,

, :

Представим интеграл в виде Римановой суммы

Подынтегральная функция - непрерывна и ограничена, тогда суммы Римана сходятся к интегралу если ранг разбиения стремится к нулю.

Поэтому если , то

,

т.е. доказали, что последовательность рациональных функций сходится к .

I I шаг. Надо приблизить полиномом в области функцию , где , , .

Обозначим через - множество тех , что функции вида приближаются полиномами на множестве .

Надо выяснить что за множество . Оказывается - дополнение до всей плоскости ( ).

Пусть содержится в круге радиуса ,

,

т.е. разложим в ряд Тейлора в круге

ряд Тейлора сходится во всех , и приближающие полиномы – это полиномы Тейлора.

а) Кроме того, множество - замкнуто ( , , то )

Если - приближается полиномами, то тоже приближается;

б) - открыто существует , что , если

Если - приближается, то и функция тоже приближается.

Множество - открытое замкнутое не пустое, значит совпадает со всем дополнением множества .

Определение связного множества.

Если множество нельзя разбить в объединение двух непересекающихся одновременно открытых и замкнутых множеств, то - связно.

Комментарии.

Если известно, что аналитическая функция в (со связным дополнением), то можно найти полином : .

Если - произвольная функция на границе области, то в общем случае аналитического полинома нет.

Зато для любой непрерывной на границе существует гармонический полином, который приближает на границе.

Гидродинамический смысл аналитичности

Пусть - плоское векторное поле.

Н айдем поток векторного поля через кривую .

- касательная составляющая вектора,

- нормальная составляющая вектора.

Элементарный поток проходит через площадку за единицу времени.

Касательный вектор

Нормальный вектор

Если кривая - замкнутая

Если поток через любую замкнутую кривую равен нулю, то векторное поле без источников.

Из мат. анализа известно, что если

, то поле - потенциальное,

,

:

- функция тока.

- циркуляция векторного поля (работа) по .

Если - замкнутая кривая, то - настоящая циркуляция.

Если по любой замкнутой кривой циркуляция равна нулю, то говорят, что поле без завихрений и кроме того поле - потенциальное.

- потенциал векторного поля

Для имеем

Для имеем

Уравнение - аналитична

- аналитична

- аналитическая

- не аналитическая

- комплексный потенциал

- потенциал для

- потенциал для

Функция тока существует всегда, а потенциал (а значит и комплексный потенциал ) не всегда.

существует, если - полный дифференциал, т.е.

Если , то потенциала не существует.

Величина носит название завихренности.

Вихрь векторного поля

Поле плоское, тогда имеет одну ненулевую компоненту

Т ем не менее, в случае можно построить функцию тока .

1. - потенциал, т.е.

, который существует ввиду

2. Рассмотрим

Функция удовлетворяет уравнению Пуассона .

24