ТФКП

§ 1. Дифференцирование функций комплексного переменного.

- поле комплексных чисел

, базис

- вектор в

Можно положить

Стандартная система комплексных чисел будет при , .

Функция комплексного переменного , , .

Опр. называется дифференцируемой (аналитической) (в т. ), если существует

.

П редел должен существовать вдоль любого направления.

1. 

2. 

1. 

2. 

Приравниваем производные, получим - уравнения Коши-Римана

и наоборот, если выполняются условия Коши-Римана, то функция дифференцируемая.

В последнем случае существуют полные дифференциалы

Существует полный дифференциал функции :

Введем обозначение:

Частные производные

,

которые имеют смысл, даже если не дифференцируема, а функции и дифференцируемы.

Тогда

Если же дифференцируема (т.е. выполняется условие Коши-Римана), то

Различные виды свойства линейности функции.

1. 

2. 

3. (над полем ) те же самые, что 2)

(над полем )

Пример:

линейная на , но не линейная на .

Таким образом получаем, что функция дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференциал является -линейной функцией, т.е. ; .

Опр. Дифференцируемые функции в области называются аналитическими.

- аналитические

- не аналитические

Примеры аналитических функций

, ряд сходится при , - аналитическая в

1. многочлены от

2. рациональные дроби от

3. 

4. 

5. 

6. 

5),6) дифференцируемы там, где производная прямой функции не обращается в 0.

Полярная запись комплексного числа

,

- модуль комплексного числа, - аргумент.

Чтобы определить обратную функцию к

. Зная , найти .

- многозначная функция

- однозначная функция

Особые точки аналитических функций

1. полюс :

- полюс для

2. существенно особые точки

3. точки ветвления

для , .

§ 2. Интегрирование функций комплексного переменного.

И нтеграл от функции комплексного переменного по пути (кривой) определяется как обычный криволинейный интеграл II рода.

,

где - кривая.

,

т.е. криволинейные интегралы II рода.

Пример:

при

Формула Грина

Если - полный дифференциал некоторой функции двух переменных

(интеграл по любому замкнутому контуру = 0)

,

- полный дифференциал, CR ,

- полный дифференциал, CR .

Формула Коши

- аналитична

1. 

2. Первообразная

аналитична в

разрез

§ 3. Теорема Коши.

Пусть аналитична в , , тогда:

1. 

2. 

Доказательство:

2 ) , функция - аналитическая в

по Формуле Коши .

1. Построим окружность ,

- аналитична в

Формула Коши .

II интеграл вычисляется в явном виде

- точка окружности

I интеграл есть , проверяем

( аналитична, следовательно непрерывна, поэтому )

.

Следствие 1. (Теорема о среднем)

для аналитических функций.

Доказательство:

Следствие 2. (Принцип max модуля)

Если аналитична в , достигает максимума во внутренней точке области , то .