Практическая работа №4.

Тема: Переключательные функции. Способы задания.

Задание №1.

Для f(x,y,z) заданной следующей таблицей истинности удалить несущественную переменную.

Решение:

	x	y	z	f(x,y,z)
	0	0	0	1
	0	0	1	1
	0	1	0	1
	0	1	1	1
	1	0	0	0
	1	0	1	1
	1	1	0	0
	1	1	1	1

Проверим, является ли переменная х существенной. Для этого рассмотрим наборы на которых значения переменных y и z остаются неизменными, а значение переменной х меняется. На наборе (0,0,0) значение функции равно 1, на наборе (1,0,0) значение функции равно 0. Т.е. при неизменных y и z значение функции меняется, если меняется значение х. Значит, переменная х является существенной и её удалять нельзя. Проверим, является ли переменная у существенной. Рассмотрим наборы на которых х и z не меняется, а меняется только у. На наборе (0,0,0) значение функции равно 1, и на наборе (0, 1, 0) значение функции также равно 1. Проверяя все остальные наборы видно, что значение функции не меняется с изменением переменной у, т.е. у несущественная переменная и её можно удалить. Таким же способом проверяется существенность переменной z. По наборам (1,0,0) и (1,0,1) видно, что z существенная переменная. Получается, что у данной функции есть одна несущественная переменная у. Для её удаления необходимо вычеркнуть столбец значений переменной у и строчки в которых эта переменная равна 1. Полученная функция будет эквивалентна исходной и будет зависеть от двух переменных.

Задание №2

Проверьте двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы: . а) составлением таблиц истинности; б) с помощью эквивалентных преобразований.

Решение: а) составим сокращенные таблицы истинности обеих формул:

x		(y		z)	(x		y)		(x		z)
0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	1	1	0	1	0	1	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1	0
0	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1
1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0	1

Поскольку полученные столбцы не совпадают, формулы не эквивалентны.

б)

Преобразуем формулы к виду СДНФ. Для этого воспользуемся тождествами: и , где a и b – произвольные формулы. Тогда (по закону де Моргана) = (по закону дистрибутивности) = .

.

Формулы (*) и (**) не совпадают, поэтому исходные формулы не эквивалентны.

Задания для самостоятельного решения

Задание №1

Для f(x,y,z) равной единице на указанных наборах удалить несущественные переменные.

Задание №2

Проверьте двумя способами а) составлением таблиц истинности; б) с помощью эквивалентных преобразований, будут ли эквивалентны формулы.

Варианты заданий:

Вариант №1

1. f(x,y,z)=(0,5,8,9,10,12,13,15)

2. 

Вариант №2

1. f(x,y,z)=(0,8,,9,10,12,13,15)

2. 

Вариант №3

1. f(x,y,z)=(1,2,3,12,13,14,15)

2. 

Вариант №4

1. f(x,y,z)=(2,3,7,8,10,11,12,15)

2. 

Вариант №5

1. f(x,y,z)=(0,4,6,7,8,10,13,15)

2. 

Вариант №6

1. f(x,y,z)=(0,4,5,7,8,10,11,13,15)

2. 

Вариант №7

1. f(x,y,z)=(0,4,5,6,7,14,15)

2. 

Вариант №8

1. f(x,y,z)=(2,4,7,9,10,14,15)

2. 

Вариант №9

1. f(x,y,z)(0,3,7,8,9,10,11,12,15)

2. 

Вариант №10

1. f(x,y,z)=(0,2,4,7,8,10,13,15)

2. 

Вариант №11

1. f(x,y,z)=(0,2,4,7,8,10,13,15)

2. 

Вариант №12

1. f(x,y,z)=0,3,6,8,9,12,13,15)

2. 

Вариант №13

1. f(x,y,z)=(2,4,7,9,10,11,13,15)

2. 

Вариант №14

1. f(x,y,z)=(2,3,4,5,9,10,11,15)

2. 

Вариант №15

1. f(x,y,z)=(5,7,8,9,10,11,15)

2. 

Вариант №16

1. f(x,y,z)=(2,3,4,9,10,11,14,15)

2. 

Вариант №17

1. f(x,y,z)=(0,2,4,8,12,14,15)

2. 

Вариант №18

1. f(x,y,z)=(2,3,4,6,8,9,11,12)

2. 

Вариант №19

1. f(x,y,z)=(5,6,7,8,9,10,11,12,13)

2. 

Вариант №20

1. f(x,y,z)=(3,5,7,10,11,12,13,14)

2. 

Практическая работа №5.

Тема: Специальные разложения ПФ.

Задание №1.

Для функции, заданной своими истинностными значениями, запишите: СДНФ, СКНФ и СПНФ.

f(x, y, z) = ( 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 )

Решение: СКНФ строится по нулевым наборам, СДНФ – по единичным наборам, а СПНФ может быть получена из СДНФ путем замены «» на «» и « » на «x1». См. таблицу .

Таблица

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

СКНФ(f(x,y,z))= .

СДНФ(f(x,y,z))= .

Используем тождество: aa=0.

СПНФ(f(x,y,z))=(x1)(y1)(z1)  (x1)y(z1)  x(y1)z  xy(z1)= (xyzxyxzxyzyz1)  (xyzxyyzy)  (xyzxz)  (xyzxy) = xzzx1.

Задание №2

С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.

Решение: используем тождества:

Для компактности записи вместо «a&b» , будем писать «ab».

ДНФ=

КНФ=

Совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) получим из ДНФ. Для этого к первой элементарной конъюнкции добавим единичный множитель , а ко второй – .

СДНФ=

Совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) получим из КНФ. Для этого к первой элементарной дизъюнкции добавим нулевое слагаемое , а ко второй – .

СКНФ=

СПНФ=xyz  xy(z1)  (x1)yz  (x1)(y1)z  x(y1)z = xyz  xyz  xy  xyz  yz  xyz  xz  yz  z  xyz  xz = xyzxyz

Задания для самостоятельного выполнения:

Задание №1

Для функции, заданной своими истинностными значениями, запишите: СДНФ, СКНФ и СПНФ.

Задание №2

С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к виду ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ.

Варианты заданий:

Вариант №1

1. f(x,y,z)=(0,1,2,6,7,8,12,13,14)

2.

Вариант №2

1. f(x,y,z)=(4,6,8,9,11,12)

2.

Вариант №3

1. f(x,y,z)=(0,1,2,3,6,12)

2.

Вариант №4

1. f(x,y,z)=(0,6,10,14)

2.

Вариант №5

1. f(x,y,z)=(3,4,7)

2. 

Вариант №6

1. f(x,y,z)=(0, 1, 2, 3, 4)

2. 

Вариант №7

1. f(x,y,z)=(1, 2, 5, ,7)

2. 

Вариант №8

1. f(x,y,z)=(1, 2, 4)

2. 

Вариант №9

1. f(x,y,z)=(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

2. 

Вариант №10

1. f(x,y,z)=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

2. 

Вариант №11

1. f(x,y,z)=(2, 3, 4, 5)

2. 

Вариант №12

1. f(x,y,z)=(0, 2, 3, 4, 7)

2. 

Вариант №13

1. f(x,y,z)=(0, 3, 4, 6, 7)

2. 

Вариант №14

1. f(x,y,z)=(1, 2, 3, 7)

2. 

Вариант №15

1. f(x,y,z)=(0, 1, 2, 5)

2. 

Вариант №16

1. f(x,y,z)=(1, 2, 4, 5)

2. 

Вариант №17

1. f(x,y,z)=(0, 3, 4, 7)

2. 

Вариант №18

1. f(x,y,z)=(1, 2, 4, 5, 6)

2. 

Вариант №19

1. f(x,y,z)=(1,2, 3, 6)

2. 

Вариант №20

1. f(x,y,z)=(0, 1, 3, 4, 6, 7)

2. 

Практическая работа №6.

Тема: Теорема о функциональной полноте.

Задание №1.

Определите к каким классам относится функция следующего вида:

(0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1)

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Решение:

Запишем значения функции в таблицу истинности.

Т.к. f(0,0,0)=1, то f T₀ (класс функций, сохраняющих ноль).

Т.к. f(1,1,1)=1, то f T₁ (класс функций, сохраняющих единицу).

Т.к. f^*(x,y,z)=(0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1)f(x,y,z), то fS (класс самодвойственных функций).

Рассмотрим наборы:  (0,0,1) и  (0,1,1). Заметим, что f() =1, f() =0.

Т.к.   , но f()f(), то f M (класс монотонных функций).

Найдем полином Жегалкина (СПНФ):

f(x,y,z)= xyz  y x.

Т.к. в СПНФ имеются нелинейные слагаемые, то f  L (класс линейных функций).

Задание №2

Определите, является ли полной система функций? Образует ли она базис?

F={ }.

Решение: построим таблицы истинности для функций системы F .

x	y
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	1
1	1	0	0

СПНФ ( ) = (x1)(y1)=xy1

СПНФ ( ) =

Оформим в виде принадлежность функций из F классам Поста:

	T0	T1	S	M	L
	–	–	–	–	–
	-	–	+	–	+

Т.к. в системе F имеются функции: не сохраняющая ноль, не сохраняющая единицу, не самодвойственная, немонотонная и нелинейная, то по теореме Поста о полноте система F является полной. В то же время базиса она не образует, т.к. из неё может быть удалена функция ( ), и при этом оставшаяся система будет полной.

Задания для самостоятельного выполнения:

Задание №1.

Определите к каким классам относится функция следующего вида:

Задание №2

Определите, является ли полной система функций? Образует ли она базис?

Варианты заданий:

Вариант №1

1. f(x,y,z)=(7, 8, 9, 10, 12, 15)

2. 

Вариант №2

1. f(x,y,z)=(7, 9, 11, 12, 14)

2. 

Вариант №3

1. f(x,y,z)=(1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14)

2. 

Вариант №4

1. f(x,y,z)=(7, 8, 9, 10, 11, 12, 15)

2. 

Вариант №5

1. f(x,y,z)=(7, 8, 9, 10, 12, 15)

2. 

Вариант №6

1. f(x,y,z)=(0,4, 8, 9, 10, 14)

2. 

Вариант №7

1. f(x,y,z)=(1, 2, 7, 8, 12, 15)

2. 

Вариант №8

1. f(x,y,z)=(2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 15)

2. 

Вариант №9

1. f(x,y,z)=(0, 1, 3, 5, 7, 9, 11)

2. 

Вариант №10

1. f(x,y,z)=(4, 6, 8, 10, 12, 14)

2. 

Вариант №11

1. f(x,y,z)=(3, 5, 7, 8, 11, 13, 14)

2. 

Вариант №12

1. f(x,y,z)=(3, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 15)

2. 

Вариант №13

1. f(x,y,z)=(4, 7, 8, 9, 11, 12, 15)

2. 

Вариант №14

1. f(x,y,z)=(2, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)

2. 

Вариант №15

1. f(x,y,z)=(0, 2, 3, 4, 5, 8, 9)

2. 

Вариант №16

1. f(x,y,z)=(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13)

2. 

Вариант №17

1. f(x,y,z)=(0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 15)

2. 

Вариант №18

1. f(x,y,z)=(0,3,7,8,11,13,14,15)

2. 

Вариант №19

1. f(x,y,z)=(0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11)

2. 

Вариант №20

1. f(x,y,z)=(5, 6, 8, 9, 12, 13, 14, 15)

2. 

Практическая работа №7

Тема: Минимизация ПФ и не полностью определённых ПФ.

Задание №1

Пусть дана функция от трех переменных f(x, y, z)=(0,1,1,1,1,1.1,0). Найти её МДНФ методом неопределённых коэффициентов.

Решение:

Построим таблицу истинности для данной функции. Она будет иметь следующий вид:

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	0	В ДНФ общего вида такой функции будет
0	0	1	1	26 неопределенных коэффициентов. Для обо‑
0	1	0	1	значения этих коэффициентов будем
0	1	1	1	использовать букву К с нижним индексом,
1	0	0	1	указывающим конъюнкцию, перед которой
1	0	1	1	стоит этот коэффициент. С учетом всех
1	1	0	1	принятых обозначений ДНФ общего вида
1	1	1	0	запишется так:

1. ДНФ = k  k_x x  k  k_y y  k  k_z z  k  k _y y   k_x x   k_x y x y  k  k _z z  k_x x  k_x z x z  k  k _z z  k_y y   k_y z y z  k  k _z z   k _y y   k _y z y z  k_x x   k_{x z} x z  k_x y x y  k_x y z x y z

2. Теперь последовательно подставляя в ДНФ каждый набор значений переменных и приравнивая при этом получаемые выражения к значению функции на этом наборе, получим следующую систему уравнений: ДНФ(0,0,0):    k  k  k  k  k  k  k =0; ДНФ(0,0,1):    k  k  k_z  k  k _z  k _z  k _z =1; ДНФ(0,1,0):    k  k_y  k  k _y  k  k_y  k _y =1; ДНФ(0,1,1):    k  k_y  k_z  k _y  k _z  k_y z  k _y z =1; ДНФ(1,0,0):    k_x  k  k  k_x  k_x  k  k_x =1; ДНФ(1,0,1):    k_x  k  k_z  k_x  k_x z  k _z  k_{x z} =1; ДНФ(1,1,0):    k_x  k_y  k  k_x y  k_x  k_y  k_x y =1; ДНФ(1,1,1):    k_x  k_y  k_z  k_x y  k_x z  k_y z  k_x y z =0;

3. Выполним шаг 3, приравнивая все коэффициенты первого и последнего уравнений к нулю.

4. Вычеркнув все нулевые коэффициенты, получим новую систему уравнений, в которой число неизвестных меньше, чем в исходной, но все же превышает число самих уравнений: k _z  k _z  k _z =1; k _y  k_y  k _y =1; k _y  k _z  k _y z =1; k_x  k_x  k_x =1; k_x  k _z  k_{x z} =1; k_x  k_y  k_x y =1;

В каждом уравнении полученной системы имеется по два коэффициента, которые могут быть приравнены к 1. Отсюда вытекает неоднозначность решения задачи. Учитывая то, что в каждом уравнении следует выбрать лишь один коэффициент, получим следующие два решения:

Первое: k _z =1; k_y =1; k_x =1;

Второе: k _z =1; k _y =1; k_x =1;

Остальные коэффициенты в обоих случаях приравниваем к нулю.

5. Подставляя найденные коэффициенты в исходную ДНФ, получим две минимальных ДНФ для заданной функции:

МДНФ₁ = z  y  x ; и

МДНФ₂ = z   y   x ;

Задание№2

Пусть функция от трех переменных f(x, y, z) задана в виде f(x,y,z)=(1,0,0,0,1,0,1,1). Построить её СокрДНФ.

Решение:

Для нахождения СокрДНФ необходимо построить СДНФ. Для данной функции СДНФ будет иметь вид: f(x, y, z) =   x  x y  x y z

Используя законы склеивания ( x A  B = x A  B  AB - склеивание; или x A  A = A - полное склеивание или x A  A = x A  A  A - неполное склеивание)

выполним всевозможные склеивания, т.е. будем склеивать первую конъюнкцию со второй, третьей, четвертой, затем вторую с третьей и четвертой, и наконец, третью с четвертой.

Тогда f(x, y, z) =   x  x y  x y z    y

 y z  x  x x z  x y =    x  x y  x y z

    x  x y

Теперь выполняя всевозможные поглощения (A  AB = A - поглощение, где A и B - элементарные конъюнкции), получим:

f(x, y, z) =   x  x y

Поскольку преобразования больше невозможны, последняя формула является СокрДНФ.

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Пусть дана функция от трех переменных f(x, y, z). Найти её МДНФ методом неопределённых коэффициентов.

Задание№2

Пусть дана функция от четырёх переменных f(x, y, z, w). Построить её СокрДНФ.

Варианты заданий:

Вариант №1

1. f(x,y,z)=(2,3,5,6)

2. f(x,y,z)=(3,6,7,8,10,11,14)

Вариант №2

1. f(x,y,z)=(1,2,3,7)

2. f(x,y,z)=(2,3,4,5,10,12,13,15)

Вариант №3

1. f(x,y,z)=(0,3,4,5)

2. f(x,y,z)=(6,7,8,10,11,13)

Вариант №4

1. f(x,y,z)=(5,6,7)

2. f(x,y,z)=(2,4,6,9,10,11,12,13)

Вариант №5

1. f(x,y,z)=(1,2,4,5,6,7)

2. f(x,y,z)=(2,4,5,6,8,11,12,14)

Вариант №6

1. f(x,y,z)=(0,2,3,5,7)

2. f(x,y,z)=(2,3,5,6,7,8,10,12,14)

Вариант №7

1. f(x,y,z)=(0,3,5,7)

2. f(x,y,z)=(2,3,4,5,12,13,14)

Вариант №8

1. f(x,y,z)=(0,1,2,3)

2. f(x,y,z)=(1,2,5,7,8,12,13,14)

Вариант №9

1. f(x,y,z)=(1,2,4,6,7)

2. f(x,y,z)=(1,5,6,7,8,9,10,15)

Вариант №10

1. f(x,y,z)=(0,1,2,3,4)

2. f(x,y,z)=(2,3,9,10,13,14,15)

Вариант №11

1. f(x,y,z)=(1,3,4,6)

2. f(x,y,z)=(0,2,5,6,8,11,12,13)

Вариант №12

1. f(x,y,z)=(2,4,5,7)

2. f(x,y,z)=(1,4,6,7,10,11,12,14)

Вариант №13

1. f(x,y,z)=(1,2,3,6)

2. f(x,y,z)=(0,2,5,7,8,9,11,12)

Вариант №14

1. f(x,y,z)=(0,1,2,3,4)

2. f(x,y,z)=(1,2,5,7,8,9,10,11,15)

Вариант №15

1. f(x,y,z)=(0,1,2,6)

2. f(x,y,z)=(3,5,6,7,8,9,13,14)

Вариант №16

1. f(x,y,z)=(2,3,6,7)

2. f(x,y,z)=(0,1,2,7,8,9,10,13,14)

Вариант №17

1. f(x,y,z)=(3,4,5,6)

2. f(x,y,z)=(2,6,7,10,12,14,15)

Вариант №18

1. f(x,y,z)=(3,4,6,7)

2. f(x,y,z)=(1,2,4,5,8,9,11,12)

Вариант №19

1. f(x,y,z)=(3,5,6,7)

2. f(x,y,z)=(3,4,5,6,8,9,10,11)

Вариант №20

1. f(x,y,z)=(0,5,6,7)

2. f(x,y,z)=(1,3,5,8,9,10,11,12)

Практическая работа №8

Тема: Минимизация ПФ и не полностью определённых ПФ методами, основанными на геометрическом представлении функций алгебры логики

Задание№1

Пусть функция имеет следующие значения: f(x, y, z)=(1, 0, 0, 1, 1, 0,1, 1). Найти МДНФ функции методом Куайна.

Решение:

Для данной функции запишем её СДНФ: .

Построим СокрДНФ:

					xyz
	1		1
yz		1			1
			1	1
xy				1	1

Используя сокращённую и совершенную ДНФ построим таблицу Куайна. В верхней строке запишем дизъюнкты совершенной ДНФ, в левом столбце запишем дизъюнкты сокращённой ДНФ. В тех ячейках, где дизъюнктасокращённой ДНФ покрывает дизъюнкту совершенной ДНФ ставим 1. Ввиду наличия единственной единицы в столбцах 1 и 2, конъюнкции и yz являются ядровыми. Таким образом, единицы ядра находятся в столбцах: 1, 2, 3 и 5. Ни одна из единиц 4–го столбца не покрывается ядром. Тем самым, обе остальные конъюнкции входят в ДНФ Куайна, которая в данном случае совпадает с Сокращенной ДНФ. Для построения МДНФ достаточно иметь одну единицу в 4–ом столбце, это равносильно удалению из СокрДНФ любой из конъюнкций: или xy. При этом получаются две минимальные ДНФ: и .

Задание №2

Для функции заданной следующим образом f(x,y,z,w)=(1,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1) построить МДНФ с помощью карт Карно.

			z w
		00	01	11	10
	00	1	1	1	1
x	01		1
y	11	1		1	1
	10	1		1

Рисунок 1

Решение:

Значения функции перечислены в порядке естественного увеличения наборов значений переменных, рассматриваемых как четырехразрядные двоичные числа.

Изобразим карту Карно для данной функции, проставляя в ней только единичные значения.

Разобьем единицы по группам, как показано на рисунке1. Тогда соответствующая этому разбиению

МДНФ₁ =  w  x  x z w  x y z 

			z w
		00	01	11	10
	00	1	1	1	1
x	01		1
y	11	1		1	1
	10	1		1

Рисунок 2

Очевидно, что ДНФ той же сложности будет получена, если разбить единицы на группы так, как показано на рис. 2

Соответствующая этому разбиению

МДНФ₂ =  w  x   z w  x y z 

			z w
		00	01	11	10
	00	1	1	1	1
x	01		1
y	11	1		1	1
	10	1		1

Рисунок 3

Для разбиения, показанного на рисунке 3, МДНФ имеет ту же сложность и равна:

МДНФ₃ =  w  x  x z w  x y

			z w
		00	01	11	10
	0 0	1	1	1	1
x	01		1
y	11	1		1	1
	10	1		1

Рисунок 4

А для рисунка 4

МДНФ₄ =  w   x z w  x y 

Другие варианты разбиения не приведут к более коротким ДНФ. Таким образом для данной функции получено четыре минимальных ДНФ.

Задания для самостоятельного решения:

Задание №1

Пусть дана функция от четырёх переменных f(x, y, z, w). Найти МДНФ функции методом Куайна.

Задание №2

Для функции от четырёх переменных f(x,y,z,w) построить МДНФ с помощью карт Карно.

Варианты заданий:

Вариант №1

1. f(x,y,z)=(0,5,8,9,10,12,13)

2. f(x,y,z)=(0,8,10,11,13,15)

Вариант №2

1. f(x,y,z)=(1,2,3,12,13,14,15)

2. f(x,y,z)=(2,3,7,8,10,11,12,15)

Вариант №3

1. f(x,y,z)=(0,4,6,7,8,10,13,15)

2. f(x,y,z)=(2,3,7,8,10,11,13,15)

Вариант №4

1. f(x,y,z)=(0,4,5,6,7,14,15)

2. f(x,y,z)=(0,3,7,8,9,10,11,12,15)

Вариант №5

1. f(x,y,z)=(2,4,7,9,10,14,15)

2. f(x,y,z)=(0,2,3,5,11,12,15)

Вариант №6

1. f(x,y,z)=(0,2,4,7,8,10,13,15)

2. f(x,y,z)=(3,6,8,9,12,13,15)

Вариант №7

1. f(x,y,z)=(2,4,7,9,10,11,13,15)

2. f(x,y,z)=(0,2,3,4,5,9,10,12)

Вариант №8

1. f(x,y,z)=(5,7,8,9,10,11,15)

2. f(x,y,z)=(2,3,4,9,10,11,14,15)

Вариант №9

1. f(x,y,z)=(0,2,4,8,12,14,15)

2. f(x,y,z)=(2,3,4,6,7,9,11,12)

Вариант №10

1. f(x,y,z)=(5,6,7,8,9,10,11,12,13)

2. f(x,y,z)=(3,5,7,10,11,12,13,14)

Вариант №11

1. f(x,y,z)=(1,2,3,4,9,11,12,14)

2. f(x,y,z)=(3,4,5,6,11,13,15)

Вариант №12

1. f(x,y,z)=(0,1,2,6,10,12,13,14)

2. f(x,y,z)=(2,3,4,8,12,14,15)

Вариант №13

1. f(x,y,z)=(1,2,4,5,9,10,13,14)

2. f(x,y,z)=(0,3,4,6,7,11,12,15)

Вариант №14

1. f(x,y,z)=(0,1,5,6,8,11,12)

2. f(x,y,z)=(2,3,7,8,10,13,14,15)

Вариант №15

1. f(x,y,z)=(1,2,3,4,9,11,12,14)

2. f(x,y,z)=(3,4,6,11,13,15)

Вариант №16

1. f(x,y,z)=(0,2,3,4,10,11,12,15)

2. f(x,y,z)=(3,4,5,9,11,13,15)

Вариант №17

1. f(x,y,z)=(1,2,3,4,7,8,9,11,12,14)

2. f(x,y,z)=(1,2,3,4,6,11,13,15)

Вариант №18

1. f(x,y,z)=(2,3,7,9,11,12,14)

2. f(x,y,z)=(2,4,5,8,11,13,15)

Вариант №19

1. f(x,y,z)=(1,2,3,4,5,11,13,14)

2. f(x,y,z)=(2,4,5,6,7,10,15)

Вариант №20

1. f(x,y,z)=(6,7,8,9,10,14,15)

2. f(x,y,z)=(0,3,5,6,7,11,12,13)

Практическая работа №9

Тема: Основные понятия теории графов.

Задание №1

Дан граф T:

Задать данный граф матрицей смежности и инцидентности.

Решение:

Матрица инцидентности – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, количество столбцов – числу дуг (рёбер) графа. На пересечении строки и столбца ставится 1, если вершина является началом дуги, -1 – если концом дуги, 0 – если вершина и дуга не инцидентны.

	AB	AG	AF	FE	FG	GB	GM	EG	EM	ED	DC	MC	BC
A	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
B	-1	0	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	1
C	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	-1
D	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0
E	0	0	0	-1	0	0	0	1	1	1	0	0	0
F	0	0	-1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	-1	0	0	-1	1	1	-1	0	0	0	0	0
M	0	0	0	0	0	0	-1	0	-1	0	0	1	0

Матрица смежности – это квадратная матрица, размер которой определяется числом вершин в графе. На пересечении строки и столбца ставится 1, если вершины инцидентны и 0 в противном случае.

	A	B	C	D	E	F	G	M
A	0	1	0	0	0	1	1	0
B	1	0	1	0	0	0	1	0
C	0	1	0	1	0	0	0	1
D	0	0	1	0	1	0	0	0
E	0	0	0	1	0	1	0	1
F	1	0	0	0	1	0	1	0
G	1	1	0	0	1	1	0	1
M	0	0	1	0	1	0	1	0

Задание №2

Для данного графа (см. задание №1) вычислить хроматическое число h(T).

Решение:

1. Выделяем вершинно пустые подграфы графа, т.е. подмножества не инцидентных вершин:

E₁={F, B, M, D}, E₂={A, E, C}, E₃={F, C}, E₄={A, M, D}, E₅={G, D}, E₆={G, C},

E₆={F, M}, E₈={B, E}.

2. Строим двумерную таблицу,число строк которой равно числу подграфов, а число столбцов – числу вершин. На пересечении столбца и строки ставим единицу, если вершин содержится в подграфе.

3. Определяем покрытие столбцов строками, т.е. в каждом столбце должна быть хотя бы одна единица. Каждое покрытие порождает раскраску. Покрытие минимальной мощности определяет хроматическое число графа.

	A	B	C	D	E	F	G	M
E1		1		1		1		1
E2	1		1		1
E3			1			1
E4	1			1				1
E5				1			1
E6			1				1
E7						1		1
E8		1			1

Минимальное покрытие столбцов строками является множество {E₁, E₂, E₅}. Следовательно, хроматическое число графа h(T)=3