1.7 Преобразование минимальных форм логических функций к виду, реализуемому лэ заданного функционально полного набора

Любая логическая функция, как было сказано выше, может быть записана в виде СДНФ или СКНФ. Следовательно, любую функцию n переменных можно представить с помощью набора трех элементарных функций: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции. Возможны и другие наборы функций, с помощью которых может быть выражена произвольная функция.

Набор элементарных булевых функций называют функционально полным (ФПН), если любая функция произвольного числа переменных может быть представлена суперпозицией функций этого набора.

Набор логических функций инверсия (НЕ), дизъюнкция (ИЛИ) и конъюнкция (И) получил наименование основного (ОФПН).

Среди других наборов функций, образующих ФПН, особый интерес представляют так называемые монофункциональные наборы, содержащие всего одну булеву функцию. Таковыми, в частности, являются набор, состоящий только из функции «штрих Шеффера» (И-НЕ) и набор, состоящий только из функции «стрелка Пирса» (ИЛИ-НЕ).

1.8 Минимальные формы в монофункциональных базисах

Основой для получения минимальных форм логических функций в базисах функций штрих Шеффера и стрелка Пирса может служить МДНФ, полученная в результате решения задачи минимизации.

МДНФ представляет собой дизъюнкцию простых импликант и может быть представлена в обобщенном виде:

(1)

где Ji – символ импликант, а d - их количество.

Формулы функций штрих Шеффера и стрелка Пирса для случая r переменных имеют вид:

(2)

(3)

Для перехода от МДНФ к минимальной форме в базисе функции штрих Шеффера конъюнкции и дизъюнкции в выражении (1) должны быть заменены функциями вида (2). Это достигается двукратным инвертированием (1) и применением теоремы де Моргана-Шеннона. Первое инвертирование (1) с учетом указанной теоремы приводит к соотношению:

(4)

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания дает:

(5)

Каждый из членов соотношения (5) и все это соотношение в целом представляет собой функции штрих Шеффера.

Следовательно, (5) выражает переход от МДНФ к искомой форме формулы в базисе функций штрих Шеффера. Формулу (5) называют оптимальной конъюнктивной инверсной формой логической функции или оптимальным инверсным произведением.

Переход от МДНФ к минимальной форме в базисе функций стрелка Пирса осуществляется заменой импликант в (1) функциями вида (3). Обозначим преобразованную в соответствии с теоремой де Моргана-Шеннона инверсию импликанты символомGi. Тогда (4) можно переписать в виде:

(6)

Трехкратное инвертирование (6) приводит к искомой форме формулы в базисе функций стрелка Пирса

(7)

Каждый член дизъюнкции в (7) и инверсия всей дизъюнкции представляет собой функции стрелка Пирса; заключительное инвертирование также может быть выполнено элементами стрелка Пирса (ИЛИ - НЕ). Формулу (7) называют оптимальной дизъюнктивной инверсной формой логической функции или оптимальной инверсной суммой.

Пример. 6. Представить логическую функцию «равнозначность двух переменных» в базисе функций штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Решение. СДНФ функции равнозначность двух переменных (приведена выше) имеет вид:

(8)

Первое инвертирование (8) с учетом теоремы де Моргана приводит к выражению:

.

Второе инвертирование с учетом закона двойного отрицания приводит к искомой форме в базисе функций штрих Шеффера:

(8.1)

Четырехкратное инвертирование (8.1) дает искомую форму в базисе функций стрелка Пирса:

(8.2)