3.2. Задача анализа цепей с распределенными параметрами
Основные отличия цепей с сосредоточенными параметрами от цепей с распределенными параметрами состоят в следующем.
Электрические цепи, процессы в которых описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, называются цепями с сосредоточенными параметрами. Цепи такого типа используют на сравнительно низких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний существенно больше размеров исследуемого устройства.
При этих условиях в исследуемых устройствах и их элементах удается выделить конечное число участков, в которых преобладает какой-то один из основных эффектов — запасание энергии электрического или магнитного полей, преобразование электрической энергии в другие виды энергии или преобразование энергии сторонних сил в электрическую. Токи рассматриваемой реальной цепи, являясь функциями времени, имеют одинаковые мгновенные значения в пределах каждого из выделенных участков. Заменяя эти участки идеализированными активными или пассивными элементами, получают идеализированную цепь, содержащую конечное число элементов, значения параметров которых конечны.
Таким образом, цепи с сосредоточенными параметрами представляют собой идеализированные цепи, моделирующие реальные устройства или их элементы при условиях, когда можно предположить, что каждый из перечисленных выше основных электрических эффектов проявляется в конечном числе пространственно локализуемых областей.
Направляющие системы используются в электросвязи для передачи сообщений на большие расстояния при высокой частоте и скорости передаваемого сообщения. Очевидно, что направляющие системы имеют большую протяженность, и поэтому длина линии связи соизмерима или существенно больше длины волны используемых электромагнитных колебаний.
В этих условиях невозможно пространственно локализовать области, в которых проявляются только эффекты одного типа. Это связано с тем, что даже при бесконечно малой длине выделяемых участков, в пределах каждого из них одновременно имеют место несколько из перечисленных основных эффектов, причем ток в пределах выделенных участков изменяется от одного сечения к другому. При этом цепи, моделирующие реальные устройства, должны содержать бесконечно большое число идеализированных элементов, параметры которых имеют бесконечно малые значения. Процессы в таких цепях описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а цепи называются цепями с распределенными параметрами.
В зависимости от условий и требуемой точности исследования каждый элемент реальной цепи и, следовательно, каждая реальная цепь в целом могут быть заменены моделирующей цепью с сосредоточенными или распределенными параметрами.
Рассмотрим, например, конденсатор, который конструктивно представляет собой две проводящие обкладки 1 и 3, разделенные слоем диэлектрика 2 (рис. 1.41).
Рис.1. Упрощенная конструкция конденсатора
На частотах до 1ГГц (λ > 30см), когда длина волны электромагнитных колебаний значительно превышает геометрические размеры обкладок, он может быть представлен одной из моделирующих цепей с сосредоточенными параметрами. На более высоких частотах, когда длина волны электромагнитных колебаний сравнима с геометрическими размерами обкладок, необходимо учитывать, что процессы запасания энергии электрического и магнитного полей, а также необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии имеют место вдоль всей длины обкладок конденсатора. В этом случае схема замещения элементарного участка конденсатора длиной dx будет содержать индуктивность L0 и емкость С0, характеризующие процессы запасания энергии магнитного и электрического полей, а также сопротивление R0 и проводимость утечки G0, учитывающие потери энергии в конденсаторе (рис.2, а). Схема замещения всего конденсатора должна состоять из бесконечно большого числа таких секций. Следовательно, идеализированная цепь, моделирующая конденсатор в рассматриваемом диапазоне частот, представляет собой цепь с распределенными параметрами.
Рис.2. К определению понятия цепи с распределенными параметрами
На примере цепи, схема которой изображена на рис.2,а, можно показать, что электрические процессы в цепях с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Действительно, ток i = i(x, t) и напряжение u = u(х, t) рассматриваемой цепи являются функциями времени t и координаты х. Приращения тока и напряжения на участке цепи длиной dx
Будем считать, что параметры элементов моделирующей цепи R0, L0, С0 и G0 не зависят от токов и напряжений, и их можно выразить через погонные (т. е. приходящиеся на единицу длины) параметры R1, L1, С1 и G1:
R0 = (R1/2)dx; L0 = (L1/2)dx; C0 = (C1/2)dx; G0 = (G1/2)dx.
На основе уравнения баланса токов и напряжений элементарного участка цепи (рис.2,а) могут быть получены следующие соотношения:
Решая уравнения (1.44), (1.45) при соответствующих начальных и граничных условиях, можно определить токи и напряжения цепи с распределенными параметрами в конкретном режиме.
Отметим, что уравнениям (1.44), (1.45) может быть поставлена в соответствие более простая схема замещения элементарного участка цепи (рис.2, б). Аналогичный вид имеют высокочастотные схемы замещения и ряда других элементов, входящих в состав радиоэлектронных устройств, в частности двухпроводных и коаксиальных линий передачи.
В зависимости от числа координат, вдоль которых происходит изменение тока и напряжения и вдоль которых «распределены» параметры цепи, различают одномерные, двухмерные и трехмерные цепи с распределенными параметрами. В курсе «Направляющие системы электросвязи» нас будут интересовать в основном одномерные цепи с распределенными параметрами, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями (1.44), (1.45).
Итак, токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных — времени t и координаты x.
Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные линии, т. е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями, а уравнения (1.44), (1.45), описывающие зависимости между токами и напряжениями элементарного участка одномерной цепи с распределенными параметрами,— дифференциальными уравнениями длинной линии или телеграфными уравнениями. Мы будем использовать термины «длинная линия» или «линия» как синонимы термина «одномерная цепь с распределенными параметрами».
Одномерные цепи с распределенными параметрами, применяемые для моделирования различных реальных цепей и их элементов, отличаются одна от другой в основном значениями погонных параметров R1, L1, С1, G1 и характером их зависимости от координаты, времени или режима работы цепи. В линейных инвариантных во времени цепях с распределенными параметрами погонное сопротивление R1, индуктивность L1, емкость С1 и проводимость утечки G1 не зависят от времени и режима работы цепи. Погонные параметры могут изменяться вдоль цепи по определенному закону либо иметь одинаковые значения на всех ее участках. Линейные инвариантные во времени цепи с распределенными параметрами, погонные параметры которых постоянны и не зависят от координаты, называются однородными (регулярными). Цепи, погонные параметры которых являются функциями координаты, называются неоднородными (нерегулярными).
В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации схема замещения элементарного участка линии может не содержать тех или иных из показанных на рис.2 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (LC-линии), индуктивно-емкостные с потерями (LCR-линии), резистивно-емкостные (RС-линии), резистивно-индуктивные (RL-линии) и резистивные (RG-линии). Нас будут в большей степени интересовать процессы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи в современной телефонии.