Приклади розв’язання типових задач.
Користуючись методом Крамера, розв’язати систему рівнянь:
1.
Розв'язання. Обчислимо визначник системи
.
Оскільки
,
то задана система рівнянь сумісна і має
єдиний розв’язок. Обчислимо визначники
;
;
.
Значить, за формулами Крамера
;
;
.
Таким
чином,
,
,
- єдиний розв’язок системи.
2.
Розв'язання. Основна матриця системи має вигляд
Використовуючи властивості визначників, обчислюємо визначник основної матриці:
Використаємо тепер формули Крамера:
,
,
;
,
,
.
Зауваження.
Визначник
можна не обчислювати, оскільки, знаючи
та
,
невідоме
можна визначити з будь-якого рівняння
системи після підстановки в нього
значень
та
.
Вправи для аудиторної роботи.
Розв’яжіть системи рівнянь методом Крамера:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
Індивідуальні завдання № 4
1. Розв’яжіть систему лінійних рівнянь за формулами Крамера:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
14)
.
15)
.
16)
.
17)
.
18)
.
19)
.
20)
.
21)
.
22)
.
23)
.
24)
25)
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Самостійна робота № 5
Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.
ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:
(1)
Позначимо через А матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); Х – матрицю-стовпець із невідомих; В – матрицю-стовпець із вільних елементів, тобто
,
,
.
(2)
Тоді систему рівнянь (1) можна переписати у вигляді матричного рівняння: . Його розв’язок Х=А-1В називається матричним розв’язком системи лінійних рівнянь з n невідомими. Знаходження матричного розв’язку називається матричним способом розв’язування системи лінійних рівнянь.
Приклади розв’язання типових задач.
1. Записати і розв’язати в матричній формі систему рівнянь
Розв'язання.
Позначимо через
,
,
.
Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі . Матричний розв’язок системи буде Х=А-1В.
Для знаходження оберненої матриці А-1 обчислимо визначник
Оскільки , то для матриці А існує обернена А-1 , а значить, можна знайти єдиний розв’язок вихідної системи.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Отже,
.
Транспонуємо
,
тоді
.
Обернена матриця має вигляд:
.
Перевіряємо:
=
=
.
Обернену матрицю знайдено правильно.
Знаходимо розв’язок заданої системи:
Х=А-1В=
.
Розв’язок
системи лінійних рівнянь:
,
,
.