Приклади розв’язання типових задач.

1. Обчисліть , якщо , , .

Розв'язання. Оскільки

,

то

.

2. Знайдіть вектор , якщо , .

Розв'язання. Послідовно знаходимо

,

.

Тоді

.

3. Обчисліть площу грані АВС і об’єм піраміди, вершини якої містяться в точках , , , .

Розв'язання. Знайдемо координати векторів , і , на яких побудована піраміда:

, , .

Площу грані АВС визначаємо за формулою: .

Маємо

;

.

Об’єм піраміди дорівнює 1/6 частині об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , тобто

.

Отже,

4. Доведіть, що вектори , і утворюють базис, і розкладіть вектор за цим базисом.

Розв'язання. Нагадаємо, що базисом у просторі називають довільну упорядковану трійку некомпланарних векторів. Тому дані вектори утворюють базис, якщо мішаний добуток цих векторів не дорівнює нулю. Перевіримо цю умову:

.

Отже, вектори , і - базис.

Вектор розкладений за базисом , і , якщо , невідомі числа (координати вектора у даному базисі).

Запишемо векторне рівняння у розгорнутому вигляді

або

Враховуючи умову рівності двох векторів, дістаємо систему рівнянь

Звідси , , .

Отже, .