1.1. Кинематика поступательного и

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Кинематика – раздел механики, изучающий движение материальных тел в пространстве и времени без рассмотрения причин, вызывающих это движение.

1.1.1. Кинематика движения материальной точки

Наиболее простым примером механического движения является движение материальной точки. Понятие материальной точки является научной абстракцией. Материальной точкой называется такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче.

Например: рассматривая движение самолета относительно Земли, его можно считать материальной точкой; однако, рассматривая устойчивость и управляемость самолета необходимо учитывать взаимодействие потока воздуха с различными частями самолета, а поэтому нельзя пренебречь их размерами и формой, и, следовательно, нельзя считать самолет материальной точкой.

Для определения положения тела в пространстве в данный момент времени необходимо указать тело отсчета (систему отсчета), которое считаем неподвижным, относительно которой и задается положение тела.

В качестве точки отсчета возьмем точку 0. Положение тела может быть задано радиус-вектором . Если точка движется, то ее положение в пространстве с течением времени меняется, т.е. радиус-вектор является функцией времени:

= (t).

Вектор Δ , проведенный из начального положения 1 в конечное – 2 ( = ₂ – ₁), называется вектором перемещения за время t = t₂ – t₁.

Дуга 1–2 является траекторией движения тела. Траектория – линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории – путь (s).

Очевидно, что s = r только при прямолинейном движении в одном направлении.

Для кинематического описания движения тела недостаточно текущего значения радиус-вектора и траектории, которые являются лишь геометрическими характеристиками движения. Одинаковые перемещения могут быть совершены за разные промежутки времени и кинематически будут совершенно различны. Это различие характеризуется различной быстротой изменения положения точки, определяемой отношением вектора перемещения к промежутку времени, в течение которого перемещение произошло

< > = .

Вектор < > называется средней линейной скоростью¹ движения тела (точки) за время Dt. Вектор < >, как и вектор , направлен по секущей 1–2.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (Dt→0), получим вектор мгновенной скорости в момент времени t:

= = .

Вектор направлен по касательной к траектории, т.к. секущая в пределе совпадает с касательной.

Очевидно, что < > = | | при равномерном движении тела (точки).

На практике часто необходимо знать среднюю путевую скорость – отношение пути Ds, пройденного телом к промежутку времени Δt, в течение которого этот путь был пройден

< >_s = .

Очевидно, что < >_s = |< >| только при прямолинейном движении в одном направлении.

При движении тела (точки) возможно изменение вектора линейной скорости, как по величине, так и по направлению. Для характеристики изменения скорости вводится понятие – линейное ускорение.

Средним линейным ускорением называется вектор < >, равный отношению вектора D = ₂ – ₁ к промежутку времени Dt, в течение которого произошло изменение скорости:

< > = .

Очевидно, что вектор < > совпадает по направлению с вектором изменения скорости D . Вектор D в общем случае не совпадает по направлению с вектором , и, следовательно, направление вектора ускорения, вообще говоря, не совпадает с направлением вектора скорости.

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени (Dt→0), получим вектор мгновенного ускорения тела (точки) в момент времени t:

= =

или с учетом, что скорость есть первая производная радиус-вектора от времени ( = ), то

= .

Очевидно, что < > = только при равноускоренном движении.

Таким образом, если известно уравнение изменения радиус-вектора , т.е. уравнение = f(t), можно с точки зрения кинематики полностью описать движение тела, т.е. найти уравнения = f(t), < > = f(t), = f(t), < > = f(t).

Описание движения теля в полярной системе координат не всегда удобно. Зачастую кинематические уравнения движения точки удобнее записывать в декартовой системе координат.

Мгновенное положение точки А в декартовой системе координат в момент времени t задается при помощи трех координат x, y и z.

П еремещение точки в этом случае вдоль оси ОХ: Dх = х₂ – х₁,

вдоль оси ОY: Dy = y₂ – y₁,

вдоль оси ОZ: Dz = z₂ – z₁,

а полное перемещение

Dr = .

Компоненты вектора средней линейной скорости по осям координат соответственно равны

<v_x>= , <v_y> = , <v_z> = ,

тогда средняя скорость

<v> =

Компоненты вектора мгновенной скорости по осям координат соответственно равны

v_x = = , v_y = = , v_z = = ,

тогда мгновенная скорость

v = .

Компоненты вектора среднего ускорения по осям координат соответственно равны

<а_x>= , <а_у>= , <а_z>= ,

тогда среднее ускорение

<а> =

Компоненты вектора мгновенного ускорения по осям координат соответственно равны

а_x = = , а_y = = , а_z = = ,

тогда мгновенное ускорение

а =.

Нормальное и тангенциальное ускорения

П оскольку вектор ускорения не совпадает по направлению с вектором скорости, то удобней ускорение разложить на две компоненты:

в направлении скорости – _ (тангенциальное ускорение);

в перпендикулярном направлении – _n (нормальное ускорение),

т.е = _ + _n или а =

Тангенциальное ускорение _ характеризует быстроту изменения численного значения скорости движения, нормальное ускорение _n характеризует быстроту изменения направления скорости, тогда

= , а_ = , а_n = .

Рассмотрим несколько частных случаев движения, при различных значениях тангенциального и нормального ускорений:

а_ = 0, а_n = 0 равномерное, прямолинейное движение;

а_ = 0, а_n = const равномерное движение по окружности или дуге окружности;

а_ = const, а_n = 0 равноускоренное, прямолинейное движение ;

а_ = const, а_n = const равноускоренное движение по окружности или дуге окружности.

1.1.2. Кинематика движения абсолютно твердого тела

Всякое физическое тело обладает размерами и формой, которые способны изменяться вследствие тех или иных причин. Если упругие свойства тела не влияют на его движение, вводится научная абстракция – ”абсолютно твердое тело” (а.т.т.).

Абсолютно твердым называется тело, расстояние, между любыми точками которого постоянно, каковы бы ни были действующие на него силы, т.е. размеры и форма такого тела остаются неизменными.

При поступательном движении все точки а.т.т. движутся по совершенно идентичным траекториям. Поэтому приращения радиус-векторов всех точек тела в любой промежуток времени одинаковы и, следовательно, все точки тела в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а описание поступательного движения а.т.т. сводится к изучению движения любой из его точек.

При вращательном движении а.т.т. точки, лежащие на различных расстояниях от оси вращения, движутся с различными скоростями, имеют различные линейные перемещения и т.д. В то же время все радиус-вектора, соединяющие точки а.т.т. с центрами описываемых ими окружностей, поворачиваются за равные промежутки времени на одинаковый угол .

П оэтому в качестве перемещения при вращательном движении а.т.т. будем использовать угол поворота  – угловое перемещение.

Б ыстроты изменения положения точки (угловая скорость), будет определяться отношением углового перемещения  к промежутку времени Δt, в течение которого перемещение произошло

<> = .

Формально это отношение – скалярная величина, но скорость – величина векторная, и направление угловой скорости (направление псевдовектора) будем определять по "правилу правого винта": если вращение правого винта совпадает с вращением тела, то поступательное движение винта совпадает по направлению с вектором угловой скорости .

По аналогии с мгновенной линейной скоростью численное значение мгновенной угловой скорости

ω = = .

Для характеристики изменения угловой скорости вводится понятие – угловое ускорение.

Средним угловым ускорением называется вектор < >, равный отношению вектора D = ₂ – ₁ к промежутку времени Dt, в течение которого произошло изменение угловой скорости:

< > = .

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени, получим вектор мгновенного углового ускорения тела в момент времени t:

= =

или с учетом, что угловая скорость есть первая производная угловой координаты от времени

= .

Очевидно, что вектора < > и совпадают по направлению с вектором изменения угловой скорости D .

П оскольку вращательное движение может быть описано не только в угловых переменных, но и в линейных, установим между ними связь.

Из рисунка видно, что dr = R sin d = R d (если угол мал и выражен в радианах). По определению v = ,

тогда v =  R.

Нормальное ускорение а_n = ,

тогда а_n = ² R.

Тангенциальное ускорение

а_ = = ,

тогда а_ =  R.

Полное мгновенное линейное ускорение а = , тогда

а = .