Лекция 3. Плоскость и прямая

3.1. Плоскость в пространстве

П онятие плоскости в трехмерном пространстве является первичным и не определяется, так же как и понятие прямой. Общее уравнение плоскости можно получить, если задать точку М₀ и нормальный вектор плоскости (нормальным вектором плоскости называют любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости). Пусть плоскость проходит через данную точку М₀ и перпендикулярна нормальному вектору (рис. 3.1). Возьмем на плоскости произвольную точку М (х,у,z) и проведем вектор . По формуле (2.6) координаты этого вектора будут . Если вектор перпендикулярен плоскости, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости. Значит,  . Из условия перпендикулярности векторов (2.10) следует равенство нулю их скалярного произведения  = 0, а в координатной форме

(3.1)

Если давать коэффициентам А, В, С различные числовые значения, то есть изменять координаты А, В, С нормального вектора, то уравнение (3.1) будет представлять собою множество плоскостей, проходящих через данную точку М₀ , называемое связкой плоскостей. Но если нормальный вектор фиксирован, то это уравнение представляет единственную плоскость. Перепишем уравнение (3.1) в виде , а если обозначить , то уравнение примет вид

(3.2)

П оследнее уравнение называется общим уравнением плоскости. Исследуем положение плоскости в системе прямоугольных координат в зависимости от наличия в нем всех или части коэффициентов А, В, С при неизвестных и свободного члена D

1) Если все числа А, В, С, D не равны нулю, плоскость имеет самое общее расположение и пересекает все три координатные оси в точках М, N, Р (рис.3.2). Точка М, лежащая на оси Ох имеет д ве координаты равные нулю: у = 0, z = 0, а третья равна числу x. Значит, ее координаты М(х, 0, 0). Аналогично координаты двух других точек N(0, у , 0), Р(0, 0, z ).

2) Если А = 0, В  0, С  0, D  0, то плоскость пересекается с осями Оу и Оz и параллельна оси Ох (рис. 3.3). Здесь и ниже рассмотрим лишь по одной из трех возможных комбинаций с нулевыми коэффициентами.

3 ) Если А = 0, В = 0, С  0, D  0, то плоскость пересекается только с осью Оz и параллельна координатной плоскости хОу (рис. 3.4).

4. Если А = В = D = 0, а С  0, то Cz = 0 или z = 0  есть уравнение координатной плоскости хОу.

5. Если А  0, В  0, С  0, D = 0, то уравнение представляет плоскость, проходящую через начало координат. Легко видеть, что координаты начала О (0; 0; 0) удовлетворяют уравнению плоскости, не содержащему свободного члена.

6) Если А  0, В  0, С = 0, D = 0, то Ах + Ву = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через начало координат и не пересекающей оси Оz, то есть плоскость проходит через ось Oz (рис. 3.5).

Пример 3.1. Определить положение плоскостей

1) - плоскость пересекается с тремя осями координат в точках М(4; 0; 0),N(0; -3; 0),P(0; 0; );

2) - параллельна оси Оz;

3. - проходит через ось Ох;

4. - проходит через начало координат;

5. у = 0 - уравнение координатной плоскости xOz.

Если плоскость задана общим уравнением (3,2) – нормаль к ней определяется как .