3.5. Прямая на плоскости

При переходе от трехмерного пространства к двухмерному, то есть к плоскости, третья координата точек или векторов обращается в нуль. Пусть это будет аппликата z = 0. Тогда из формулы (3.6) получим или . Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в левую часть равенства, получим . Обозначив n=А, -m=B, , придем к уравнению

, (3.11)

которое называется общим уравнением прямой. По форме оно аналогично общему уравнению плоскости. Здесь - нормальный вектор прямой. Исследование уравнения (3.11) аналогично исследованию общего уравнения плоскости (3.2).

Если а  0, в  0, с  0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.

Если А =0, В 0, С  0, то прямая параллельна оси Ох.

Если А = 0, В  0, С = 0, то или у = 0 – уравнение оси Ох.

Если А  0, В = 0, С  0, то прямая или параллельна оси Оу.

Если А  0, В = 0, С = 0, то или х = 0 – уравнение оси Оу.

Если А  0, В  0, С = 0, то прямая проходит через начало координат.

Из уравнения (3.8) получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки

(3.12)

Запишем это уравнение в виде

(3.13)

Рассмотрим рис. 3.9, на котором изображено общее расположение прямой, проходящей через две данные точки и , и пересекающей обе оси координат. Угол  между положительным направлением оси Ох и прямой, взятый против часовой стрелки, называется углом наклона прямой. Тангенс угла наклона называется угловым коэффициентом прямой. Так как прямая параллельна оси Ох, то - прямоугольный и отношение

(3.14)

Тогда уравнение (3.13) можно записать так

(3.15)

В этом вид называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k. Если k величина не фиксированная, а переменная, то уравнение (3.15) называется уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку.

Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим

Если обозначим величину , то уравнение запишется

(3.16)

В таком виде его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Легко видеть, что при х = 0 будет - отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, считая от начала координат, число k характеризует направление прямой, если k > 0, то угол наклона острый, а если k < 0, то угол наклона тупой.

Исследуем различные положения прямой в зависимости от наличия или отсутствия коэффициентов в уравнении (3.16).

1. Если k  0, b = 0, то прямая проходит через начало координат.

2. Если k = 0, b  0, то уравнение прямой, параллельной оси Ох. В частности, если k = b = 0, то у = 0 – уравнение оси Ох.

3. Уравнение вид есть уравнение прямой, параллельной оси Оу. В частности, - уравнение оси Оу.

Пусть в общем уравнении прямой все коэффициенты не равны нулю. Запишем его в виде и разделим почленно на –С  0. Получим или . Обозначив , , придем к уравнению

(3.17)

называемому уравнением прямой в отрезках. Здесь - отрезки отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу, считая от начала координат. Например, прямая отсекает на осях отрезки х = -2, у = 5.