Примеры задач (а)
1. Найдите вектор
,
где
,
и
.
2. Найдите вектор
из уравнения
,
если
,
и
.
3. Найдите длину
вектора
,
где
и
.
4. Найдите скалярное
произведение векторов
и
.
5. Найдите косинус
угла между векторами
и
.
6. Вычислите:
,
где
,
,
.
7. Вычислите ранг
системы векторов: а)
,
,
;
б)
,
,
.
8. Разложите вектор
по базису
,
.
9. Исследуйте на
линейную зависимость систему векторов:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
10. Найти координаты
вектора
в ортогональном базисе:
,
.
11. Решите по формулам Крамера систему уравнений:
а)
;
б)
;
в)
.
12. Решите методом
Гаусса систему уравнений
,
выбирая
и
в качестве базисных переменных. В ответе
укажите базисное решение.
13. Решите систему
уравнений
,
выбирая
и
в качестве базисных переменных. В ответе
укажите базисное решение.
14. Найдите
фундаментальный набор решений системы
.
15. Найдите размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, записанной в матричной форме:
а)
;
б)
;
16. Решите систему линейных уравнений, заданную в матричной форме:
.
17. Решите систему
линейных уравнений:
18. Найдите ранг матрицы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;е)
.
19. Найдите матрицу
,
если
и
.
20. Найдите матрицу
,
если
,
где
,
.
21. Вычислите
где:
а)
и
; б)
и
;
в)
и
; г)
и
;
22. Вычислите
где
и
.
23. Вычислите матрицу
.
24. Вычислите
,
если: а)
; б)
.
25. Вычислите
определитель матрицы
.
26. Вычислите: а)
; б)
.
27. Вычислите
определитель матрицы
,
если
.
28. Вычислите
определитель матрицы
,
если
.
29. Найдите целые корни многочленов
а)
;
б)
.
30. Найдите наибольший общий делитель многочленов:
а)
и
;
б)
и
.
31. Запишите в
тригонометрической форме комплексное
число
.
32. Решите уравнение
в области комплексных чисел: а)
;
б)
.
33. Найдите модуль
комплексного числа
,
если
.
34. Найдите модуль
комплексного числа
,
если:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
35. Найдите аргумент
комплексного числа
,
если:
а)
,
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
.
36. Запишите
квадратное уравнение с действительными
коэффициентами, которое имеет корень
.
37. Найдите собственные значения матрицы:
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
38. Найдите собственные
значения матрицы
,
если
.
39. Найдите собственные
значения матрицы
,
если
.
40. В пространстве
столбцов
действует линейное преобразование
по правилу:
.
Напишите матрицу
преобразования
в стандартном базисе и найдите
,
где
.
41. В пространстве
действует линейное преобразование
по правилу:
.
Напишите матрицу преобразования
в стандартном базисе.
42. В пространстве
столбцов
действует линейное преобразование
по правилу:
.
Найдите образ вектора
.
43. В пространстве
действует линейное преобразование
по правилу:
.
Найдите образ вектора
.
44. Линейное
преобразование
пространства
задано
в стандартном базисе своей матрицей
.
Найдите образ
вектора
.
45. Вычислите ранг квадратичной формы:
а)
;
б)
;
в)
г)
.
46. Вычислите ранг квадратичной формы, если ее матрица в некотором базисе имеет вид:
а)
;
б)
;
в)
47. Выясните, является
ли положительно определенной квадратичная
форма
.
48. Выясните, является ли знакоопределенной квадратичная форма
.
49. Найдите угол
в
треугольнике
с вершинами
а)
,
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
;
г)
,
,
.
50. Найдите точку
пересечения прямых
и
.
51. Записать общее
уравнение прямой на плоскости, которая
проходит через точку
,
в направлении вектора
.
52. Записать общее
уравнение прямой на плоскости, которая
проходит через точку
имеет нормальный вектор
.
53. Найдите уравнение
прямой, содержащей точку
и
перпендикулярной к прямой, проходящей
через точки
и
.
54. Найдите общее
уравнение прямой, проходящей через
точки
и
.
55. Найдите общее
уравнение прямой, содержащей точку
и параллельной прямой
.
56. Найдите расстояние
от точки
до прямой
а)
,
;б)
,
.
57. Найдите
эксцентриситет эллипса
.
58. Найдите
эксцентриситет гиперболы
.
59. Запишите уравнения
асимптот гиперболы
.
60. Определите вид кривой второго порядка, заданной уравнением:
а)
;
б)
;
в)
.
61. Две прямые заданы
уравнениями
и
.
Найдите косинус угла между ними.
62. Найдите косинус
угла между плоскостями
и
.
63. Найдите расстояние
от точки
до плоскости
.
64. Найдите расстояние
между параллельными плоскостями
и
.
65. Найдите общее
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и перпендикулярной прямой
.
66. Найдите общее
уравнение плоскости, содержащей точку
и перпендикулярной вектору
.
67. Найдите общее
уравнение плоскости
,
которая параллельна плоскости
и проходит через точку
.
68. Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через три точки
а)
,
,
;
б)
,
,
; в)
,
,
.
69. Найдите точку
пересечения прямой
и плоскости
.
70. Найдите длину
отрезка
,
если
,
.
71. Пусть
– выпуклая оболочка точек
,
,
.
Найдите ограничения в виде системы
неравенств, которые задают множество
.
72. Пусть
– выпуклая оболочка точек
,
,
,
.
Найдите ограничения в виде системы
неравенств, которые задают множество
.
73. Решите графически задачи линейного программирования:
,
,
74. Привести к стандартной форме следующую задачу линейного программирования:
.
75. Дана начальная симплекс-таблица задачи линейного программирования на минимум:
.
Решить задачу симплекс-методом.