О характере движения d–частиц

В сферической системе координат каждая D-частица движется в центральном поле. Сохраняется энергия частицы E, см. (П.57), а так же вращательный момент частицы L, см. (П.48).

Движение каждой D-частицы является хорошо известным движением точечной частицы массы m в поле другой массы M [25].

При E<0 траекторией является эллипс. Если E=0, то траектория парабола. При E>0 траекторией является гипербола. Параметры этих траекторий однозначно связаны со значениями энергии E и вращательного момента .

Космология d-мира

Геометрия D–мира неевклидова. Ее удобно изучать в криволинейной полярной системе координат ( , ) (см рис.16.).

Если – радиус окружности в D–мире, то, как видно из рис.16., длина окружности

.

(П.67)

При , . Сначала, с ростом , растет. При = , достигает максимума . При дальнейшем увеличении длина окружности уменьшается и при она обращается в ноль.

Двухмерный объем D-мира, охватываемый окружностью радиуса R₂:

.

(П.68)

Полный объем D–мира:

.

(П.69)

D–мир делит трехмерное, фиктивное для него трехмерное евклидово пространство, на внутреннюю и внешнюю части. По отношению к трехмерному пространству у D–мира есть две стороны – внутренняя и внешняя.

Внутренний объем, который D–мир охватывает в трехмерном пространстве:

(П.70)

Внешний объем, охватываемый D–миром в трехмерном пространстве, является бесконечным.

Рассмотрим динамику D–мира с точки зрения D–наблюдателя в приближении механики сплошной среды, как это обычно и делается в космологии. Считаем для простоты, что все D–частицы имеют одинаковую массу m₀ и рассматриваем D–среду как двухмерный идеальный газ.

В сопутствующей системе координат D–среда покоится, но сама система координат в процессе эволюции D–мира однородно растягивается или сжимается.

D–среда в окрестности любого D–наблюдателя описывается плотностью , удельной тепловой энергией и давлением P₂. Давление _P2 определяем как обычно в идеальном газе. Считаем, что давление– это удельная тепловая энергия приходящаяся на две степени свободы. В соответствии с тем, что D–газ является двухмерным, заключаем, что справедливо уравнение состояния:

.

(П.71)

D–мир является однородным и изотропным. Кривизна его пространства одинакова во всех точках и одинаково меняется во времени. Из закона сохранения массы находим, что в процессе эволюции D–мира плотность _ρ2 связана с изменением радиуса кривизны _a формулой:

.

(П.72)

Учитывая (П.71) и то что «микроскопическая» скорость D–частиц меняется согласно (П.66), заключаем, что энергия и давление связаны с _a формулами:

.

(П.73)

Это уравнение может быть записано в виде адиабаты Пуассона:

.

(П.74)

Отсюда заключаем, что эволюция D–мира является адиабатическим процессом с показателем адиабаты . В идеальном газе показатель адиабаты связан с числом степеней свободы f, частиц его составляющих, соотношением [27]:

.

(П.75)

Так как для D–частиц _f=2, то поэтому γ=2.

С учетом адиабатичности, первое начало термодинамики для D–мира может быть записано в виде:

(П.76)

Это уравнение является одним из космологических уравнений А.А.Фридмана для D–мира. Другим уравнением А.А.Фридмана для D–мира является уравнение (П.49) (о космологических уравнениях А.А.Фридмана см., например, [1] и Приложение 1 настоящей статьи). Уравнение (П.49) является обобщенным уравнением А.А.Фридмана, записанным с учетом действия объемных центробежных.

Сила отталкивания действует на единицу массы D–среды в радиальном по отношению к D–миру направлении. Она связанна с изменением тепловой энергии этой массы в процессе эволюции D–мира. В самом деле, учитывая (П.48) и (П.71) заключаем, что:

.

(П.77)

Космологию D–мира можно изложить, взяв за основу переменную , определяющую изменение линейных расстояний в D–мире. Уравнение (П.49) для переменной имеет вид (П.62).

Согласно этому уравнению, с точки зрения любого D–наблюдателя, на единичную массу D–среды, находящуюся от него на расстоянии , действуют две силы: сила притяжения и сила отталкивания. Первая сила является аналогом ньютоновских сил притяжения. Она обратно пропорциональна квадрату расстояния . Сила отталкивания связана с изменением тепловой энергии D–среды. Она является центробежной по своей природе, обусловлена наличием дисперсии микроскопических скоростей D– частиц и кривизной D–мира. В рассматриваемой модели эти силы обратно пропорциональны кубу расстояния .

В заключение этого пункта отметим следующее. Плотность тепловой энергии, достаточная для обеспечения ускоренного расширения однородной космической среды в кривом пространстве может быть, как это видно из описания D-мира, много меньше энергии . Это означает, что центробежные силы принципиально отличаются по энергетике от сил отталкивания связанных с Λ- членом_. Для создания эйнштейновских сил отталкивания, соизмеримых с силами притяжения, плотность «темной энергии» должна быть порядка плотности энергии среды, порождающей гравитационное поле, см., например, [6,7].