3.2 Свойства выборочных оценок

На начальном этапе в качестве оценки той или иной числовой характеристики (математического ожидания, дисперсии и т. п.) берется выборочная числовая характеристика. Затем, исследуя эту оценку, ее уточняют таким образом, чтобы она удовлетворяла описанным выше свойствам.

Доказано, что выборочное среднее , является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания М(Х) генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии СВ X генеральной совокупности, так как доказано, что . Иными словами, выборочная дисперсия оценивает генеральную дисперсию с недостатком. Хотя при , и оценка является асимптотически несмещенной, в качестве оценки дисперсии D(X) удобнее брать исправленную дисперсию:

.

Исправленная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D(X) СВ X.

Аналогично вводится исправленное среднее квадратическое отклонение или так называемый эмпирический стандарт S:

.

3.3 Интервальные оценки

После получения точечной оценки желательно иметь данные о надежности такой оценки. Особенно важно иметь сведения о точности оценок для. небольших выборок (поскольку с возрастанием объема п выборки несмещенность и состоятельность основных оценок гарантируется утверждениями математической статистики). Поэтому точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой — интервалом ( ), внутри которого с наперед заданной вероятностью у находится точное значение оцениваемого параметра . Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал — доверительным интервалом. При этом у называют доверительной вероятностью или надежностью, с которой оцениваемый параметр попадает интервал .

Зачастую для определения доверительного интервала заранее выбирают число , называемое уровнем значимости, и находят два числа и , зависящих от точечной оценки , такие, что

.

(3.3)

В этом случае говорят, что интервал накрывает неизвест­ный параметр с вероятностью , или в случаев. Границы интервала и называются доверительными, и они обычно находятся из условия (рисунок 3.3).

Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервальной оценки, зависит от объема выборки п и надежности (уровня значимости ). При увеличении величины п длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением надежности у к единице – увеличивается. Выбор (или ) определяется конкретными условиями. Обычно используется = 0,1; 0,05; 0,01, что соответствует 90, 95, 99% -м доверительным интервалам.

Общая схема построения доверительного интервала:

1. Из генеральной совокупности с известным распределением f(x, ) СВ X извлекается выборка объема п, по которой находится точечная оценка параметра .

2. Строится СВ Y( ), связанная с параметром и имеющая известную плотность вероятности f(y, ).

3. Задается уровень значимости .

4. Используя плотность вероятности СВ Y, определяют два числа и такие, что

.

(3.4)

Значения и выбираются, как правило, из условий

; .

Неравенство преобразуется в равносильное такое, что = .

Полученный интервал , накрывающий не­известный параметр с вероятностью , и является интервальной оценкой параметра .

Интервальная оценка также носит случайный характер, так как она напрямую связана с результатами выборки. Однако она позволяет сделать следующий вывод. Если построен доверительный интервал, который с надежностью накрывает неизвестный параметр, и его границы рассчитываются по К выборкам одинакового объема п, то в К случаях построенные интервалы накроют истинное значение исследуемого параметра.

Поскольку в эконометрических задачах часто прихо­дится находить доверительные интервалы параметров СВ, ( имеющих нормальное распределение, приведем схемы их определения.