П.15. Область целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо,  .

Если  , но  , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2.Построение кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций   определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

,  .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца  , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

,

где по определению полагают  ,  и, очевидно,  является нулем кольца.

Аналогично можно показать, что кольцо функций   также имеет делители нуля и поэтому не является областью целостности.

Следствие. Любое поле является областью целостности.

Доказательство сразу же следует из простейших свойств поля и того, что любое поле является коммутативным кольцом с единицей.

Теорема. В кольце без делителей нуля выполняется закон сокращения относительно умножения.

Доказательство. Пусть А – произвольное кольцо без делителей нуля, a, b, – его произвольные элементы и выполняется равенство:  . Тогда  . Так как по условию   и в кольце нет делителей нуля, то  . Таким образом мы доказали, что если

 и  , то  , т.е. выполняется закон сокращения справа. Аналогично доказывается закон сокращения слева. Теорема доказана.

Заметим, что в любом кольце выполняется закон сокращения относительно сложения, т.к. кольцо относительно сложения является группой, а в любой группе, как мы видели, справедлив закон сокращения.

П.1. Построение поля комплексных чисел.

   Пусть   – декартов квадрат поля действительных чисел, т.е.   – множество упорядоченных пар действительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам:   положим по определению

(1)               

(2)             .

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из   снова есть пара из множества  , т.к. сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким образом,   – алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема.   – поле.

   Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

               .

   Пусть  . Тогда по определению сложенияпар   и  .

С другой стороны,   и  .

Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому   и  . Отсюда следует равенство пар  , а отсюда следует, в свою очередь, равенство  , ч.т.д.

2. Существование нулевого элемента:

               .

   Обозначим  , где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, т.е. число нуль. Пусть   – произвольная пара из  . Тогда по определению сложения пар   и  . Следовательно,   и пара   есть нулевой элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3. Существование противоположного элемента:

           .

   Пусть   – произвольная пара из  .

Покажем, что противоположным элементом является пара

. Действительно, по определению

сложения пар имеем:

 и  . Отсюда следуетравенство  , ч.т.д.

4. Закон коммутативности относительно сложения:

                       .

   Пусть   – две произвольные пары. Тогда по определению сложения пар имеем:

 и  . Так как R – поле, то в нем выполняется закон коммутативности сложения и  ,  , откуда следует равенство пар:   и  , ч.т.д.

5. Закон ассоциативности относительно умножения:

                      .

   Пусть  . Тогда по определению умножения пар

,   и

.

.

В результате получились равные пары. Следовательно,  , ч.т.д.

6. Существование единичного элемента:

               .

   Положим по определению   и покажем, что   – единичный элемент относительно умножения. Пусть  . Тогда по определению умножения пар  ,  . Таким образом,  , ч.т.д.

7. Существование обратного элемента:

           .

   Пусть   и  , т.е. числа а и b одновременно не равны нулю, а значит  . Положим по определению   и покажем, что этот элемент удовлетворяет равенству  . Действительно, по определению умножения пар 

, 

. Таким образом, мы проверили выполнение равенства  , ч.т.д.

8. Закон коммутативности относительно умножения:

                       .

      Пусть   – две произвольные пары. Тогда по определению умножения пар

,  . Так как R – поле, то умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности и

,  , откуда и следует равенство  , ч.т.д.

9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:

          и  .

   Пусть  . Тогда по определению сложения и умножения пар

, 

. Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действительные числа. Аналогично,

,   и

. Отсюда мы видим, что  .

   Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Поле   называется полем комплексных чисел, а егоэлементы – упорядоченные пары действительных чисел, называютсякомплексными числами.