П.12. Основные алгебраической структуры: поле.
Определение. Полем называется множество К, на котором определены две внутренние бинарные алгебраические операции (сложение и умножение) и подчиняющиеся следующим законам (аксиомы поля).
1. Закон ассоциативности относительно сложения:
.
2. Существование нулевого элемента:
.
3. Существование противоположного элемента:
.
4. Закон коммутативности относительно сложения:
.
5. Закон ассоциативности относительно умножения:
.
6. Существование единичного элемента:
.
7. Существование обратного элемента:
.
8. Закон коммутативности относительно умножения:
.
9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и 
.
Другими
словами, полем называется алгебраическая
структура 
сдвумя алгебраическими
операциями (сложение и умножение), такая,
что относительно сложения множество
К является абелевой группой, а относительно
умножения множество 
является
коммутативной группой и умножение дистрибутивно
относительно сложения.
Определение.
Пусть К – поле. Тогда группу 
называют
аддитивной группой поля К, а группу 
–
мультипликативной группой поля К.
Теорема (Простейшие свойства поля)
1. 
.
2.
.
3.
Если х и у – элементы поля
К, то равенство 
возможно
лишь при 
или 
.
Доказательство.
1) Прибавим к элементу 
элемент
х и воспользуемся аксиомами поля:
.
Таким
образом имеем равенство 
.
Так как поле К
относительно сложения является
группой, то справедлив закон сокращения
и применяя его сразу получаем равенство
.
2) Применяя аксиомы поля, получаем равенство:
.
Из
этого равенства сразу же следует, что
элемент 
является
противоположным элементу х.
3)
Если
или
,
то по уже доказанному свойству
верно равенство
.
Обратно, пусть
.
Допустим, что 
и 
.
Тогда 
,
т.к. 
–
группа относительно умножения и
следовательно 
,
что противоречит предположению. Теоремадоказана.
Примеры полей.
1. Множество рациональных чисел.
2. Множество действительных чисел.
3. Поле рациональных дробей с одной неизвестной.
4. Поле из двух элементов: 
.
Здесь 0 – нулевой элемент, 1 –
единичный. Сложение и умножение задаются
таблицами Кэли:
и 
.
Нетрудно проверить справедливость всех аксиом поля.
П.14. Основные алгебраические структуры: кольцо.
Определение.
Пусть А – непустое множество, на котором
определены две внутренние бинарные
алгебраические операции, которые мы
будем называть сложением и умножением
и записывать соответственно. Алгебраическая
структура 
называется
кольцом, если относительно сложения множество
А является абелевой группой и выполняется
закон ассоциативности умножения и оба
закона дистрибутивности умножения
относительно сложения.
Другими словами, алгебраическая структура называется кольцом, если выполняются следующие законы:
1 – 4. Законы абелевой группы относительно сложения;
5. Закон ассоциативности умножения:
;
6. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и .
Определение. Если в кольце А выполняется:
7. Закон коммутативности умножения
,
то кольцо А называется коммутативным кольцом.
Определение. Если в кольце А существует единичный элемент относительно умножения:
8. Закон существования единичного элемента
,
то кольцо А называется кольцом с единицей.
Замечание. Любое поле является коммутативным кольцом с единицей. Но обратное утверждение является неверным, т.к. не в каждом коммутативном кольце с единицей справедлив закон существования обратного элемента.
Пример 1. Множество целых чисел Z относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей.
Пример
2. Множество всех многочленов от одной
буквы 
с
коэффициентами из поля K относительно
операций сложения и
умножения многочленов является
коммутативным кольцом с единицей.
Пример
3. Множество 
–
всех числовых функций, определенных на
отрезке 
числовой
оси относительно обычных операций сложения и
умножения числовых функций является
коммутативным кольцом с единицей.
Теорема. (Простейшие свойства кольца)
Пусть А – произвольное кольцо. Тогда
1. 
.
2. Если кольцо А обладает единицей, то
.
Доказательство один к одному повторяет доказательство аналогичных свойств поля.