13. Прямые, косвенные, статистические и динамические измерения. Оценки погрешностей косвенных измерений. Условные измерения. Проблема корреляций и уравновешивание условных измерений. Принципиальные ограничения на точность измерений (физические пределы).

Прямое измерение – определение измеряемой величины непосредственно из опытных данных. Например, измерение температуры воздуха термометром, силы тока – амперметром, диаметра вала – микрометром и т.п.

Косвенное измерение – определение измеряемой величины на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям на основе результатов измерений этих величин:

z = f(a₁, a₂,…, a_m)

z - значение искомой величины; a₁, a₂,…, a_m – значение непосредственно измеряемых величин.

Примеры: сопротивление (R = U / I), плотность.

Что считать прямыми измерениями, а что косвенными – вопрос отчасти философский, т.к. многие преобразования могут делаться внутри прибора (омметры говорят, что они измеряют сопротивления, но на самом деле они измеряют напряжения и… напряжения, поскольку ток тоже определяется через напряжение). В результате косвенными считаются те измерения, где расчёт осуществляется вручную либо автоматически, но после получения результатов прямых измерений.

Совместные измерения – это производимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними. Пример: определение коэффициента теплового расширения.

Статическое измерение – измерение физической величины, которая не изменяется в процессе измерений (в рамках используемой модели). Например, измерение длины детали при нормальной температуре.

Динамические измерения – измерения физической величины, меняющейся с течением времени. В этом случае требуется, чтобы время измерения было значительно меньше характерного времени изменения измеряемой величины. Также во многих случаях требуется чтобы вместе с самой величиной фиксировалось и время, координата или другая опорная величина. Например, измерение расстояния до уровня земли со снижающегося самолёта.

Статистическое измерение – это либо опечатка (т.к. противопоставляется динамическому) либо многократное измерение (нормального определения статистического измерения найти не удалось). Многократное измерение – получение результата измерение из нескольких следующих друг за другом измерений одной и той же физической величины на основе статистической обработки (чаше всего усреднения).

Оценки погрешностей косвенных измерений

Пусть величина z определяется через величины a₁, a₂, …, a_m:

z = f(a₁, a₂,…, a_m)

Пусть для a₁, a₂, …, a_m известны их погрешности Sa₁, Sa₂, …, Sa_m соответственно. Тогда погрешность оценки z может быть охарактеризована через выборочное стандартное отклонение.

Идея: частная производная отражает коэффициент связи – насколько изменится целевая величина при изменениях одной фиксированной частной величины. Поэтому погрешность каждой из частных величин (их случайные изменения) нужно умножить на соответствующие коэффициенты связи.

Условные измерения. Проблема корреляций и уравновешивание условных измерений

Определение условных измерений найти не удалось. Скорее всего, тут речь идёт о совместных измерениях. При совместных измерениях величины могут быть зависимыми, а могут быть и нет. В случае предполагаемой линейной зависимости оценить степень этой зависимости можно с помощью коэффициента корреляции.

или

Если q = 0, то величины не коррелированны, но необязательно независимы. Если q = +- 1, то между величинами x и y существует линейная зависимость.

Принципиальные ограничения на точность измерений (физические пределы)

Если дифракционный предел. Общая идея: нельзя получить изображения объектов, характерный размер которых меньше длины волны. Характерный угол дифракции λ/d.

Планк показал, что тела (в частности абсолютно чёрное тело) излучают и поглощают энергию порциями E = ħω. Приборы, регистрирующие энергию посредством носителей с определённой частотой (фотоны, электроны…). Поэтому шаг дискретизации по энергии ограничен и определяется конкретными носителями (расщепление определяется по спектру, а не по прямым измерениями энергии).

Фотоны излучаются за конечное время τ. Если они локализованы по времени/длине, то их спектр отличается от δ-функции и имеет конечную ширину Δω. Причём τΔω ≥ 1. Из неопределённости частоты возникает неопределённость энергии: ΔE = ħΔω ~ ħ/τ. То есть чем лучше мы знаем момент или место измерения, тем хуже мы знаем энергию и наоборот.

p = ħω/c; Δp = ħΔω/c.

Δx = cτ ≥ c/Δω

ΔpΔx ≥ ħ.

Это соотношение неопределённости относится к фотону как к частице. Аналогичное соотношение справедливо и для поперечного направления. Для этого можно рассмотреть схему дифракции на щели:

Δx_⊥ = d; Δp_⊥ = ħΔω/с θ = ħ /d.

ΔxΔp ~ ħ

Проблема заключается не только в том, что есть неопределённость измерения, но есть также неопределённое воздействие на объект: если фотон дифрагировал на щели и приобрёл случайный импульс, то щель также приобрела случайный импульс в противоположном направлении: Поэтому от таких погрешностей нельзя избавиться усреднением.

Измерение скорости на основе эффекта Доплера:

ω_отр = ω(1 – 2v/c). Δv = c/2ωτ

При таком измерении телу будет переда импульс 2ħΔω/с. Момент передачи не определён и эта неопределенность ~ τ. В результате измерения тело неконтролируемым образом сдвинется на Δx_возм ~ 2ħΔωτ/mс.

Δp_измΔx_возм = m Δv_измΔx_возм ~ ħ. То есть возмущаться может не только импульс, но и координата.

Неопределённость для фазы / амплитуды электромагнитной волны: чем больше фотонов (N) измеряем – тем выше точность определения интенсивности (через энергию ΔE = ħωΔN). Но для этого измерять нужно долго. Но тогда не сможем точно определить фазу (Δφ =ωΔt). ΔφΔN ~ 1.

Стандартный квантовый предел

Если требуется измерить разность координат, то при первом измерении телу будет сообщен случайный импульс, который в свою очередь добавит ошибку при втором измерении координаты:

Δx₂ можно загнать в 0, но с первым измерением такого сделать не получится. В результате существует стандартный квантовый предел, ограничивающий ошибку снизу.

Для механического осциллятора с частотой 1 кГц и массой 10г СКП координаты составляет 10^-18 м.

СКП для других величин

Также см. про шумы из соседнего вопроса.

Источники

В.С. Секацкий, Н.В. Мерзликина. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И КОНТРОЛЯ

И.В. Митин, В.С. Русаков - Анализ и обработка экспериментальных данных

С. П. Вятчанин Введение в квантовые и прецезионные измерения