34. Планирование эксперимента, выбор метода и технических средств, методы оценки ожидаемых результатов и их погрешностей

Эксперимент - целенаправленное воздействие на объект исследования с целью получения о нем достоверной информации.

Планирование эксперимента – это средство построения математических моделей различных процессов с целью повышения эффективности экспериментальных исследований: сокращения времени и средств на проведение эксперимента, повышения достоверности результатов исследования.

Основой теории планирования эксперимента является математическая статистика, так как результаты эксперимента - случайные величины или случайные процессы.

Классификация экспериментов

Классификация по структуре

Натуральные – средства экспериментального исследования взаимодействуют непосредственно с объектом исследования. Наиболее достоверные, но могут быть дорогими и сложными. Не всегда реализуемы.

Модельные – экспериментируют не с самим объектом, а с его моделью (модель может быть как материальной, так и идеальной). Проще натурных, но могут иметь некоторые ограничения. Пример: продувка моделей в аэродинамической трубе.

Модельно-кибернетические (машинные) – разновидности модельного эксперимента, при котором соответствующие характеристики изучаемого объекта вычисляются с помощью алгоритма на ЭВМ. Наиболее дешёвые, быстрые и гибкие. Но отражают только то, что заложено в модель.

По стадии научных исследований различают:

Лабораторные - для изучения общих закономерностей различных явлений и процессов при проверке научных гипотез и теорий;

Стендовые - проводятся при необходимости изучить конкретный процесс, протекающий в исследуемом объекте, определением физических, химических и других свойств;

Промышленные - обязательны при внедрении нового изделия или процесса, при оптимизации действующего процесса, при проведении контрольно-выборочных испытаний качества выпускаемой продукции.

По способу проведения различают:

Пассивный - основан на регистрации входных и выходных параметров, характеризующих объект исследования, без вмешательства в эксперимент в процессе его проведения. Обработка экспериментальных данных - после окончания эксперимента;

Активный - математическое описание строится в виде совокупности статических и динамических выходных характеристик объекта, которые регистрируются при подаче на его входы специальных возмущающих воздействий по заранее спланированной программе. Активный эксперимент позволяет быстро устанавливать закономерности, находить оптимальные режимы функционирования объекта, но его обычно и труднее осуществить.

Факторы - входные параметры, которые оказывают влияние на объект и могут быть измерены. Нужно по возможности выделить что-то типа базиса независимых факторов, чтобы одни факторы не влияли на другие.

Область планов эксперимента - область возможных комбинаций факторов, построенная в многомерном факторном пространстве.

Модели бывают аналитическими (есть универсальный закон или уравнение) и эмпирическими (закон неизвестен, есть только интерполированные графики в определённой области). Аналитические модели нужны физикам, эмпирические – инженерам (т.к. в некоторых местах они могут быть точнее).

Виды задач эксперимента:

• Измерение – определение характеристик объекта, проверка гипотез относительно характеристик.

• Дисперсионный анализ – проверка наличия влияния на систему тех или иных факторов. Ответ: влияет/не влияет, сильно не сильно. Пример: влияние состава сплава на его прочностные характеристики.

• Регрессионный анализ – измерение откликов, построение математической модели. Пример: измерение АЧХ.

• Корреляционный анализ – определение взаимосвязи двух величин.

• Экстремальный эксперимент – поиск минимумов и максимумов определённых величин. Определение критической точки вещества. Проверка металла на разрыв.

При выборе оборудования для эксперимента нужно учитывать такие параметры, как: частоту дискретизации, динамический диапазон, собственные шумы, время восстановления.

Измерения бывают: прямые, косвенные, совместные и совокупные (одновременное измерение одной и той же величины, например, поток через несколько труб).

Математическая модель формирования результата и погрешности измерения

Результат измерения представляет собой случайную величину следующей структуры:

Y(x) = kx + kF + H

F, H – шумы на входе и выходе соответственно.

k – коэффициент усиления.

Погрешность:

E(x) = Y(x) - x = kx + kF + H - x = (k – 1)x + kF + H

Основы статистики

Генеральная совокупность – полный набор всех значений, которые может принимать измеряемая величина.

Выборка – набор измерений. Объём выборки - число элементов.

Выборка должна быть представительной: 1) все элементы генеральной совокупности должны появляться в выборке с одинаковой вероятностью; 2) во-вторых, наблюдения должны быть независимыми, т.е. появление каждого из элементов выборки не должно влиять на вероятность появления других элементов.

Под точечной оценкой понимается отдельное число, которое используется в качестве оценки параметра генеральной совокупности. Например, выборочное среднее

В качестве интервальной оценки используют доверительный интервал. Доверительный интервал – это отрезок, центром которого является точечная оценка числовой характеристики, включающий истинное значение данной числовой характеристики с заданной вероятностью. Эта вероятность называется доверительной вероятностью. То есть мы говорим что-то типа значение g c вероятностью 99% находится в интервале от 9,7 до 9,9. Чем выше доверительная вероятность, тем больше интервал.

Построение доверительного интервала:

1. Записывается вероятностное утверждение относительно некоторой случайной функции, включающей в себя разность или отношение оценки числовой характеристики и ее истинного значения. Закон распределения должен быть известен.

2. Вероятностное утверждение преобразуется к виду, при котором границы доверительного интервала числовой характеристики представлены в явном виде.

Простой доверительный интервал для среднего:

t – распределена нормально.



Проверки гипотезы производится при помощи статистического критерия – правила, определяющего условия, при котором проверяемую нулевую гипотезу следует либо принять, либо отклонить. Критерий представляет собой случайную функцию результатов наблюдения с известным законом распределения. Область возможных значений делится на две части. Одна называется областью принятия гипотезы, другая (где гипотеза должна быть отвергнута) – критической областью. Чтобы проверить гипотезу, необходимо вычислить критерий и посмотреть, в какую область попадает вычисленное значение.

Критерий «трех сигм». α < 0,003, маловероятен, и его можно считать промахом, если |x_i - x| < 3S .

Дисперсионный анализ

Если результаты наблюдения зависят от некоторых независимых факторов, то возможно разделить вклады этих факторов, анализируя соотношения между их дисперсиями.

Решение о существенности влияния некоторого фактора на исход эксперимента зависит от того, насколько значимой является составляющая дисперсии, обусловленная этим фактором, по сравнению с дисперсией, обусловленной ошибкой эксперимента.

Выборка n разбита на k групп. Можно посчитать межгрупповую дисперсию:

f – число элементов в группе, x_j – частное среднее.

Внутригрупповая дисперсия:

её среднее:

Далее скармливаем в распределение Фишера.

Понятие о статистической и корреляционной связи

Есть два типа связей величин: функциональная (жёсткая) и статистическая (в среднем).

Корреляционной связью называют частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой (связь не обязана быть линейной).

Основным методом нахождения параметров уравнения связи является метод наименьших квадратов (МНК). Он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактически измеренных значений зависимой переменной y от ее значений, вычисленных по уравнению связи с факторным признаком (многими признаками) x.

Статистическое изучение корреляционной связи

1. Проверка однородности выборки

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации V не превышает 33%.

2. Проверка нормальности распределения (описано выше)

3. Исключение промахов. Если грубо, то всё, что не попало в 3 сигмы – выброс.

4. Определение факта наличия и направления корреляции.

5. Измерение степени тесноты связи, оценка ее существенности

6. Построение модели связи

Источники

https://ru.wikipedia.org/wiki/Планирование_эксперимента

Реброва. Планирование эксперимента

Макаричев. Методы планирования эксперимента

Методы оценик Априорная информация из Шишкина