27. Аналитическая аппроксимация результатов и измерений. Интерполяция (линейная, квадратичная, кубическая и т.п.)

Аналитическая аппроксимация. В результате набора измерений мы получаем функцию, заданную в виде таблицы (табличный способ задания функции). Такой формат неудобен, поэтому в большинстве случае делается аналитическая аппроксимация или интерполяция, в результате которой мы получаем функцию, заданную аналитически (т.е. формулой).

Аппроксимация – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы отклонение f(x) от φ(x) в заданной области было наименьшим. То есть аппроксимированная функция не обязана проходить через точки исходной функции. Если исходная функция задана таблично, то аппроксимация называется дискретной.

Если исходная функция f(x) задана аналитически (на отрезке), то аппроксимация называется непрерывной или интегральной. Нужна для упрощения функций.

Экстраполяцией называется аппроксимация вне заданной области определения исходной функции

Интерполяция – это замена исходной функции f(x) функцией φ(x) так, чтобы φ(x) точно проходила через точки исходной функции f(x). Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией.

Интерполяция – это не всегда плохо. Часто построить нормальную модель для аппроксимации достаточно сложно, но для решения прикладных задач нужно аналитическое представление (график). Пример: документация на электронные компоненты.

Линейная интерполяция

Интерполяция набора точек отрезками.

Ошибка линейной интерполяции:

Матричная форма:

Интерполяция алгебраическими многочленами (квадратичная, кубическая, …)

Интерполяция алгебраическими многочленами функции f(x) на отрезке [a, b] – нахождение коэффициентов многочлена P_n(x) принимающего при значениях аргумента x₁, x₂, … x₃ значения функции f(x): f(x₁), f(x₂), … f(x₃).

Для этого нужно решить систему:

Если все точки x_i различны, то определитель отличен от нуля. Поэтому решение существует и единственно всегда.

Преимущества

• Для заданного набора точек и сетки параметра кривая строится однозначно.

• Кривая является интерполяционной, то есть проходит через все заданные точки.

• Кривая имеет непрерывные производные любого порядка.

Недостатки

• С ростом числа точек порядок многочлена возрастает, а вместе с ним возрастает число операций, которое нужно выполнить для вычисления точки на кривой.

• С ростом числа точек у интерполяционной кривой могут возникнуть осцилляции (см. пример ниже).

Полиномы опасно использовать для экстраполяции, т.к. за пределами области узлов интерполяции их обычно сильно разносит. Для экстраполяции лучше использовать аппроксимацию моделями.

Значения интерполяционного многочлена даже для гладких функций в промежуточных точках, не совпадающих с узлами интерполяции, могут сильно уклоняться от значений самой функции, такое поведение многочлена называют осцилляциями.

Пример:

Кубический сплайн

Условия:

Условия на непрерывность первой и второй производной:

Плюс в том, что задаётся локально – всего на двух узлах сетки.

Источники

https://studopedia.ru/15_9577_approksimatsiya-i-interpolyatsiya-dannih-osnovnie-opredeleniya.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяция_алгебраическими_многочленами