30. Прямые и обратные задачи. Некорректные задачи. Обратные задачи при анализе результатов измерений и методы их решения.

Гудков. Мат обработка маркшейдерских измерений

Статистика для физиков

Прямая задача – есть параметризованная модель какого-то процесса или объекта. По заданным параметрам модели нужно определить какие-то её наблюдаемые свойства и характеристики. Пример: зная начальную скорость ядра и угол наклона пушки определить траекторию движения ядра.

Обратная задача – по наблюдаемым данным определить параметры модели. Пример: по координате столкновения ядра с землёй определить угол наклона пушки.

Корректно поставленная задача:

• Решение существует

• Решение единственно

• Решение устойчиво

Если хотя бы одно из условий не выполняется, задача поставлена некорректно. Пример некорректно поставленной задачи: восстановление исходного сигнала по результатам измерений при наличии шума.

Прямая и обратная задача теории погрешностей

МНК – обратная задача – восстановления параметров кривой.

Метод максимума правдоподобия – вычисление средних при наличии шумов.

Прямая задача - по известным погрешностям измерений найти погрешность окончательных результатов, которые зависят от этих измерений.

Имеется ряд независимых величин x_1, x₂ .. x_n, которые имеют погрешности s₁, s₂, …., s_n. На основе результатов этих измерений вычисляют функции y_i = F_i(x_1, x₂ .. x_n). Задача в том, чтобы оценить погрешности y_i. То есть оценить достоверность результата путём вычисления вероятности того, что результирующая ошибка < ε. Эта вероятность – доверительная вероятность .

Обратная задача – определение средних погрешностей измерений для обеспечения заданной точности некоторой функции измеренных величин. Alt: определить границы интервал , чтобы с вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины x не выйдет за пределы доверительно интервала. Если уровень доверия p велик (скажем, 0,95 или 0,99), то доверительный интервал почти наверняка содержит истинное значение параметра.

Более простые проверки для больших выборок

Намерили какие-то данные. Считаем, что они подчиняются какому-то распределению. Но мы хотим проверить, а действительно ли они принадлежат этому распределению.

Для этого вычисляем χ² по измеренным данным и сравниваем с табличным значением для данного распределения.