8. Шумы и помехи при измерении электрических, акустических и оптических величин

Тепловой шум

Тепловой шум вызывают флуктуации объемной плотности электрического заряда в проводниках. В результате возникают переменные электромагнитные поля, а на поверхности – случайная разность потенциалов. Спектр очень широкий. При комнатных температурах спектр можно считать белым до 10¹² Гц.

Оценка спектральной плотности шума

Предположим, что R создаёт шум с постоянной и неизвестной СПМ S₀.

S_c – СПМ шума на конденсаторе. Среднеквадратичное напряжение на C и его средняя энергия:

Степень свободы тут одна, поэтому энергия должна быть kT/2  S₀ = 2kTR. Этот случай учитывает и отрицательные частоты. Поскольку нас интересуют только положительные частоты из нормировки получается: S₀⁺ = 4kTR (формула Найквиста). Т.е. видно, что спектр тут равномерный. Область применимости: ħω << kT. При комнатной температуре это соответствует частоте 10¹² Гц.

При более высоких частотах (оптика) нужно учитывать распределение планка:

Согласно формуле Найквиста, тепловой шум генерируют только активные элементы цепи. Шумовой ток, генерируемый резистором не может нагревать конденсатор (т.к. на конденсаторе ток и напряжение сдвинуты по фазе). Если бы конденсатор мог генерировать шум, то он бы грел резистор. Таким образом, тепло бы шло от менее нагретого тела к более нагретому, что противоречит второму начало термодинамики.

Есть флуктуационно-диссипационная теорема (теорема Каллена-Вельтона), которая говорит, что чем больше связь системы с окружающим миром (больше диссипация), тем больше в ней тепловые флуктуации (чем быстрее энергия может уходить из системы, тем сильнее на неё влияют внешние тепловые воздействия).

Если отклик x(t) на внешнее воздействие f(t) можно представить в виде

или

то спектральная плотность флуктуаций термодинамической величины S_x связана с мнимой частью обобщённой восприимчивости α’’(ω) = Im(α(ω)) следующим образом:

а средний квадрат флуктуации термодинамической величины <x²>:

При kT >> ħω:

При T  0:

Дробовой шум

Причина дробового шума – дискретность носителей зарядов. Возникает при протекании тока через потенциальный барьер (лампы, полупроводники…).

В качестве примера можно рассмотреть вакуумный диод (электроны вылетают из нагретого катода). Вероятность вылета отдельного электрона с поверхности катода мала. Число электронов, вылетающих в единицу времени описывается распределением Пуассона. Дисперсия и среднее значение пропорциональны этой вероятности.

Время пролёта диода τ₀ ~10^-9c. Ток – короткие не перекрывающиеся импульсы. Время между импульсами случайно. τ₁ – среднее время. Похожим образом ток ведёт себя и при протекании через другие барьеры.

Корреляционная функция для тока в анодной цепи:

Считаем, что импульсы действительно редкие: τ₁ω >> τ₀. Тогда корреляционную функцию можно заменить дельта-функцией: B(τ) = A δ(τ).

I₀ = e/τ₀ – ток в каждом импульсе.

I = I₀τ₀/τ₁ = e/τ₁ – средний ток.

Спектральная плотность мощности:

½ - из –за интегрирования дельта-функции от 0 (а не от - бесконечности).

Теорема Шоттки

Реально формулой Шоттки можно пользоваться до частот 10⁷ – 10⁹ Гц.

Если при протекании около барьера образуется объёмный заряд, дробовые флуктуации сглаживаются.

Генерационно-рекомбинационный шум

Электронно-дырочтная рекомбинация в полупроводниках носит случайный характер. При флуктуациях числа свободных зарядов изменяется проводимость. Основная причина: носители заряда обладают конечным временем жизни в полупроводнике и при низких частотах рекомбинируют до того, как дойдут до конца полупроводника (в отличии от лампы, в которой электроны почти всегда долетают туда, куда нужно).

Пусть N₀ – среднее число электронов в зоне проводимости. δN² – дисперсия. τ_N – характерное время жизни носителей заряда.

Автокорреляционная функция числа носителей:

Спектральная плотность:

Итого:

В большинстве полупроводников генерационно-рекомбинационный шум наблюдается на частотах до 10⁹ Гц (1 ГГц).

Фликер-шум

Наиболее существенен при частотах < 10 Гц.

α: 0,8 – 1,4.

Источником фликкер-шума в электронике являются медленные изменения свойств материалов устройств: колебания конфигураций дефектов в металлах, изменение заселённости ловушек в полупроводниках, колебания доменных структур в магнитных материалах.

1/f – можно получить для двухуровневых систем в случае наличия большого числа механизмов переходов между уровнями с различными характерными временами. Пусть D(τ) – функция распределения времен переходов. Тогда:

Если D(τ) ~ τ^-1:

Оптика

В тепловом шуме нужно учитывать формулу планка полностью из-за больших частот. Всё, что нагрето, так или иначе светит.

Есть всякие флуоресценции.

На оптические измерения часто влияет механика крепежа оптических элементов. Тепловой шум подвесов (ограничивает частоты ~1-10Гц): тепловое движение молекул в подвесах зеркал приводит к возбуждению колебаний в подвесе, что смещает зеркала. Подавить сложно, все упирается в качество материалов.

Квантовый дробовой шум лазера. Аналог обычного дробового шума но для фотонов. Частоты > 50Гц. Эти шумы проявляются как задержка при измерении фазы на выходе интерферометра, и ограничивает все частоты. Чем больше мощность света внутри детектора, тем меньше шум.

Квантовый шум радиационного давления (частоты 10-50Гц): тот же дробовой шум приводит к флуктуациям мощности внутри интерферометра и вызывает случайную силу радиационного давления на зеркала. Столь же фундаментален как и дробовой шум. В отличие от дробового шума, растет с увеличением мощности света (больше частота – больше энергия фотона, если интенсивности равны, то при большей частоте энергия приходит более крупными сгустками). Это же наблюдается и при фотоэффекте.

https://habr.com/ru/post/431712/

Нестабильность частоты лазера определяется формулой Шавлова-Таунса:

В случае P_out = 1 МВт

Δν_с – полоса пропускания резонатора.

В случае R = 0,999 ширина линии лазера будет 1 МГц.

https://www.rp-photonics.com/schawlow_townes_linewidth.html

Акустика и общие особенности

Механический броуновский тепловой шум (можно посмотреть в Брагинском).

Тепловые флуктуации ведут к тепловому расширению.

Есть термоупругий и терморефрактивный шумы.

Помехи – технические шумы, возникающие из-за несовершенства оборудования. Оптика – засветки. Акустика – акустическая эмиссия.

Источники

Вятчанин. Конспект лекций по курсу "Радиофизика"

https://ru.wikipedia.org/wiki/Флуктуационно-диссипационная_теорема