23. Случайные процессы. Эргодичность. Корреляционная функция случайного процесса. Стационарные случайные процессы. Спектральная плотность. Теорема Винера-Хинчина.

Далее будем писать ξ(t) вместо ξ(ω, t).

Как правило, полагают, что T = {t > 0}.

Основные характеристики случайного процесса

Среднее значение - <ξ(t)>

Дисперсия - σ(t) = <ξ²(t)> − <ξ(t)>²

Эргодическая гипотеза — предположение о том, что средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим значениям (усреднению по реализациям). Можно взять 100 кубиков, а можно кинуть один кубик 100 раз. Но нужно, чтобы условия при бросании не изменялись (случайный процесс был стационарным). Усреднение по времени и по реализациям актуальны только для стационарных процессов.

Корреляционная функция – мера статистической зависимости случайных процессов:

Часто важное значение имеет то, насколько статистически зависимы (коррелированны) значения одного и того же случайного процесса в различные моменты времени. В этом случае используется автокорреляционная функция (приставку "авто" часто опускают).

Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t₁, t₂, …, t_n, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности (в частности среднее и дисперсия) неизменны во времени.

Автокорреляционная функция зависит только от разности времён τ = t2 − t1:

Функция B(τ) характеризуют связь (корреляцию) между значениями x(t), разделенными промежутком времени τ.

Спектральная плотность мощности – средний квадрат мощности в бесконечно узкой полосе частот, отнесённая к ширине этой полосы, как функция положения выбрано полосы. Т.е. берём фильтр с узкой полосой измеряем среднюю мощность, делим на ширину полосы и получаем одну точку функции. Чтобы измерить следующую точку, перенастраиваем фильтр.

Дисперсия в определённой полосе частот может быть определена путём интегрирования в соответствующих пределах.

Не все любят отрицательные пределы, поэтому вводят одностороннюю СПМ:

Теорема Винера – Хинчина

Спектральная плотность мощности стационарного шума представляет собой Фурье-образ автокорреляционной функции для этого шума.

Обратное тоже справедливо:

Источники

Вятчанин. Конспект лекций по курсу "Радиофизика"