9. Кручение бруса круглого поперечного сечения. Напряжение и деформация при кручении. Определение максимальных касательных напряжений.
Кручение – такой вид нагружения, когда в попереч.сечениях бруса возникает только крутящий момент. Рассмотрим консольный брус, на который действует вращающий момент Т. Допущения: поперечное сечение плоское остается таким и после деформации; поперечное сечение было и остается перпендикулярным; расстояние между рассматриваемыми сечениями остается постоянным; радиус круглого поперечного сечения – постоянный.
Д
ля
фиксации положения всех точек проводят
риску. Начинаем нагружать. а1 – новое
положение после кручения, γ – угол
сдвига, φ – полный угол закручивания.
Всё основано на малых деформациях.
Рассмотрим элементарный участок бруса
dx.
Деформация, приходящаяся на ед. длины
(относительный угол закручивания):
φ0=dφ/dx.
Из треугольников b1a1a2
и a1a20:
a1a2=γ·dx=r·dφ;
γ=r·dφ/dx=rφ0.Из
закона Гука: τ=Gγ.
Закон Гука
для сдвига:
τ=Grφ0.
Мax
напряжение возникает на максимально
удаленных слоях поперечного сечения
(эпюра тау). τρ=Gρφ0(1).
Поэтому делают пустотелые конструкции,
т.к. сердцевина не работает.
Установим связь между крутящим моментом Мк, деформацией φ0 и касательным напряжением τ: относительно т.О dМк=τ·dS·ρ=Gφ0ρdSρ= Gφ0ρ2dS; Мк=Gφ0(S)∫ρ2dS. Момент инерции сечения полярный: Ip=(S)∫ρ2dS. Мк=Gφ0Ip(2), φ0=Мк/GIp, где GIp – жесткость поперечного сечения при кручении. Полный угол закручивания: φ=Мкl/GIp. (1)->(2) Мк=G(τρ/Gρ)Ip, τmax=Мкr/Ip, где Ip/rmax=Wp=πd3/16 – полярный момент сопротивления поперечного сечения. Условие прочности при кручении: τmax≤ [τ].
10. Геометрические характеристики брусьев круглого поперечного сечения при кручении. Потенциальная энергия деформации при кручении.
К
ручение
– такой вид нагружения, когда в
попереч.сечениях бруса возникает только
крутящий момент. Относит. угол закручивания:
φ0=dφ/dx,
φ0=Мк/GIp,
где GIp
– жесткость попереч. сечения при
кручении. γ=r·dφ/dx=rφ0.
Полный угол
закручивания: φ=Мкl/GIp.
Ip=(S)∫ρ2dS.
Wp=Ip/rmax=πd3/16.
Рассм.участок закруч.стержня длиной
dz.
Энергия, накопленная в этом элементе,
= работе моментов Мк, приложенных по
торцам: dU=0,5Мкdφ,
где dφ
– взаимный угол поворота сечений.
dφ=Mkdz/GIp
-> dU=M2kdz/2GIp.
11. Расчет валов на прочность и жесткость при кручении.
Кручение – такой вид нагружения, когда в попереч.сечениях бруса возникает только крутящий момент. Условие прочности при кручении: τmax=Мк/Wp ≤ [τ], где Wp=Ip/rmax=πd3/16 – полярный момент сопротивления поперечного сечения, [τ]=τz/n – доп. касат. напряжение, n – коэфф. запаса. τmax=σ/2. Из условий прочности на кручение определяем min диаметр вала: d≥(3)√(Мк/0,2[τ]), где [τ]=10…20 МПа. Расчет на жесткость: φ=Мkili/GIp≤[φ], где φ - угол закручивания вала (рад); Мк – крутящий момент; G - модуль упругости II рода, характ. жесткость при кручении; l – длина закручиваемого участка вала; Ip=πd4/32 - полярный момент инерции сечения вала. Если вал ступенчатый и нагружен несколькими Мк, то угол φ определяют по участкам и затем суммируют.