Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Ответы к коллоквиуму.doc
Скачиваний:
54
Добавлен:
23.11.2019
Размер:
791.04 Кб
Скачать
  1. Движение гармонического осциллятора при наличии сил сопротивления. Свободные затухающие колебания.

  1. Вынужденные механические колебания. Явление резонанса.

 Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ), действует добавочная периодическая сила F –вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:

      – основное уравнение колебательного процесса, или

(3.3.1)

      где fx = Fx/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

      Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания  системы  будут  совершаться  с  частотой  вынуждающей  силы ω.

       Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

(3.3.2)

      Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.

      Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3).

      Из (3.3.2) получим:

(3.3.3)

(3.3.4)

      Преобразуем и (3.3.2) через косинус:

(3.3.5)

      Обозначим    – угол между смещением и вынуждающей силой.

      Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):

 

      Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:

          – амплитуда ускорения   – амплитуда скорости   – амплитуда смещения   – амплитуда вынуждающей силы, причем 

               Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:

 .

Рис. 3.3

      Из рис. 3.2  видно, что   . Найдем амплитуду А:

(3.3.7)

      Таким образом,    и   .

      При постоянных F0m и β  амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.

      Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения

(3.3.8)

      Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения

 .

      Проанализируем выражение (3.3.7).

      1)    (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда

      – статическая амплитуда (колебания не совершаются).

      2)    (затухания нет). С увеличением ω (но при   ) амплитуда растет и при   резко возрастает (   ). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω (   ) амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).

Рис. 3.4

      3)    Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:

      4) ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:

 , отсюда

      где ωрез – резонансная частота.

      Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называетсярезонансом.

      Для консервативной системы, т.е.    из (3.3.9) следует   ; для диссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω(рис. 3.4).

      С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при   .