Устойчивость динамической системы
Рассмотрим динамическую систему
.
(1)
Пусть эта система имеет решение
,
(2)
удовлетворяющее начальным условиям
.
(3)
Пусть
(4)
возмущенное движение, удовлетворяющее начальным условиям
.
(5)
Невозмущенное
движение
наз. устойчивым по Ляпунову,
если
.
Обычно принимают
,
(6)
.
(7)
Выражение
(7) есть норма в пространстве
.
Если используется чебышевская метрика для каждой компоненты решения, то определение устойчивости выглядит следующим образом:
Невозмущенное
движение
наз. устойчивым по Ляпунову,
если
Устойчивость
по Ляпунову означает, что решения,
близкие по начальным условиям, остаются
близкими и при
.
Если хотя бы одно неравенство из приведенных выше не выполняется
при
сколь угодно малом
,
то решение наз. неустойчивым по Ляпунову.
Если
при
расстояние
между возмущенным и невозмущенным
решениями стремится к нулю, то решение
наз.
асимптотически устойчивым.
Устойчивость по Пуассону
Финитное
движение
наз. устойчивым по Пуассону, если
Устойчивость положения равновесия
Рассмотрим
точки
,
в которых
.
(1)
Такие точки наз. положениями равновесия или стационарными точками или особыми точками динамической системы. Существует очевидное решение системы
.
(2)
Положение равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Из неустойчивого равновесия система в результате даже очень малых начальных отклонений может быть отброшена из стационарного состояния и движение станет либо достаточно сложным, либо перейдет в другое стационарное состояние, вообще говоря далекое от первоначального.
Пусть система
(3)
в
момент времени
находится в состоянии
,
близком к состоянию равновесия
:
,
(4)
где
- малый
-
мерный вектор. В произвольный момент
времени
.
(5)
Подставим (5) в (3). Получим
.
(6)
.
Записано
разложение в ряд Тейлора. Так как
,
то получим систему дифференциальных
уравнений
.
(7)
Если можно пренебречь нелинейными слагаемыми, то получим линейную систему
.
(8)
Здесь
(9)
элементы
матрицы линеаризации, которую обозначим
через
.
Теорема
Ляпунова утверждает, что если все СЗ
матрицы
удовлетворяют неравенству
,
(10)
то положение равновесия исходной системы асимптотически устойчиво. Если существует хотя бы одно СЗ, для которого
,
(11)
то
особая точка
является неустойчивой. Если же наряду
с СЗ с
встречаются и такие , для которых
,
то устойчивость положения равновесия
не может быть определена из анализа
линеаризованной системы.
СЗ определяются из уравнения
.
(12)
Следовательно, изучение устойчивости сводится к анализу корней характеристического уравнения (12).
Иногда наряду с СЗ требуется знать СВ. Они определяются из алгебраических уравнений
.
Критерий Рауса-Гурвица
Пусть характеристическое уравнение имеет вид
.
(13)
Пусть уравнение (13) имеет корней
.
(14)
Оценку расположения корней можно сделать, не решая уравнения (13).
Теорема Рауса-Гурвица
Для того чтобы все корни уравнения (13) имели необходима и достаточна положительность всех главных диагональных миноров так называемой матрицы Гурвица:
.
(15)
Структура
матрицы Гурвица такова: по главной
диагонали расположены коэффициенты
многочлена с
до
.
Столбцы содержат поочередно коэффициенты
только с нечетными или только с четными
индексами (включая
).
Все недостающие элементы (коэффициенты
с индексами, меньшими нуля или большими
)
заменяются нулями.