4.15. Предполные классы булевских функций определение

Класс B называется предполным классом, если [B] P₂ и для любой функции множество является полной системой.

Предполные классы булевских функций обладают несколькими специальными свойствами.

Если B  предполный класс, то [B] = B, т.е. всякий предполный класс является замкнутым классом.

Действительно, если предполный класс B незамкнут и , то справедливо соотношение . (Иллюстрация рассуждений приведена на рис. 4.7), Т.е.  это неполная система. Последнее свойство противоречит предположению о том, что B является предполным классом.

B

[B]

f

P₂

Рис. 4.7

ТЕОРЕМА 4.10

Классы Т₀, Т₁, S, L и M являются предполными.

Доказательство

Проведем доказательство теоремы только для класса Т₀. Для остальных классов такое доказательство может быть выполнено аналогично.

1. Уже известно, что Т₀  неполный класс.

2. Покажем, что в Т₀ содержатся функции, не принадлежащие каждому из остальных классов.

Действительно, f(x₁, x₂) = x₁ + x₂  Т₀, но f  Т₁, f  S, f  M. Кроме того, h(x₁, x₂) = x₁&x₂ Т₀, но h L. Поэтому, по критерию полноты в P₂, добавление к Т₀ любой функции g Т₀ преобразует Т₀ в полную систему, т.е. Т₀ является предполным классом.

Доказательство окончено.

ТЕОРЕМА 4.11

В P₂ существует ровно 5 предполных классов.

Доказательство

Поскольку Т₀, Т₁, S, L и M являются предполными, то остается доказать, что всякий предполный класс в P₂ совпадает с одним из этих классов.

Пусть B  произвольный предполный класс в P₂.

Возможен один из следующих двух случаев:

1. B не содержится ни в одном из классов Т₀, Т₁, S, L или M;

2. B целиком содержится в одном из классов Т ₀, Т ₁, S, L или M.

Первый случай оказывается невозможным, поскольку по критерию полноты система B оказывается полной системой.

Во втором случае B либо совпадает с одним из пяти классов Т₀, Т₁, S, L и M, либо строго содержится в одном из таких классов.

Вторая из последних ситуаций невозможна. Действительно, пусть B  D, где D  один из классов Т₀, Т₁, S, L или M, и функция f входит в D, но не принадлежит в B.

Так как D является замкнутым классом, то [B  {f}]  D.

Последнее противоречит тому, что B является предполным классом.

Следовательно, система B должна совпадать с одним из пяти предполных классов Т₀, Т₁, S, L и M.

Доказательство окончено.

112