Определение

Пусть f(x₁, . . . , x_n)  P₂. Функция g(x₁, . . . , x_n)  P₂ называется двойственной к функции f, если

g(x₁, . . . , x_n) = .

Двойственная функция к заданной функции f обозначается как f*.

Нетрудно проверить, что , , .

Кроме того, легко убедиться в справедливости следующего свойства: функция, двойственная к двойственной функции, совпадает с исходной функцией, т.е. справедливо равенство: f** = f.

Определение

Функция f называется самодвойственной, если f = f*.

То есть всякая самодвойственная функция на любых двух противоположных наборах значений переменных принимает противоположные значения. Примерами самодвойственных функций являются тождественная функция f(x) = x и отрицание f(x) = .

Множество всех самодвойственных функций обозначается как S.

Установленное ранее свойство симметричности расположения противоположных наборов в табличном задании булевских функций позволяет использовать следующую схему построения табличного задания функции, двойственной к заданной функции.

Пусть f(x₁, . . . , x_n)  произвольная булевская функция, заданная таблично.

1. Выпишем столбец значений f в обратном порядке.

2. В полученном столбце выполним замену всякого значения в нем на противоположное значение.

Полученный в результате столбец значений функции представляет собой столбец значений двойственной функции f*. Действительно, первое преобразование позволяет по столбцу значений функции f(x₁, . . . , x_n) получить столбец значений функции f( ).

Второе преобразование переводит функцию f( ) в ее отрицание, т.е. окончательная функция  это f*.

Если функция f задана формулой, то для получения формульного представления функции f* можно воспользоваться следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 4.7 (О формуле для двойственной функции)

Пусть f(x₁, . . . , x_n) представляется формулой U (g₁,..., g_n). Тогда функция f* представляется формулой

U* = U(g*₁, . . . , g*_n).

Доказательство

Докажем теорему индукцией по глубине формулы U.

1. Базис индукции. Покажем, что если f = , то представляется формулой . Запишем цепочку равенств:

=

=

= .

2. Индуктивное предположение. Предположим, что доказываемое в свойство выполняется для всех формул, глубина которых не превосходит n.

3. Индуктивный переход. Пусть f = U(g₁,..., g_n), где U(g₁,..., g_n)  это формула глубины n + 1, составленная с помощью символов переменных и функций g₁,..., g_n

Предположим, что U = h(U₁, . . . , U_n), где для формул U₁, . . . , U_n и представляемых ими булевских функций w₁, . . . , w_n справедлива доказываемая теорема.

Тогда аналогично доказательству базиса индукции можно показать, что = .

Поскольку всякая функция представляется формулой , то представляется формулой , т.е. формулой U( ,..., ).

Доказательство окончено.

Пример. Пусть U = . Тогда U* = .

Определим число самодвойственных функций, имеющих n переменных. Из условия самодвойственности следует, что на противоположных наборах значений переменных всякая принимает противоположные значения. Поэтому всякая однозначно определяется своим заданием на наборах верхней половины табличного задания булевских функций n переменных, то есть на 2^n-1 наборах.

Следовательно, число функций n переменных в S равно .

Покажем, что множество функций S является замкнутым классом. Поскольку тождественная функция f(x) = x является самодвойственной, то для доказательства замкнутости класса всех самодвойственных функций достаточно проверить, что если h = , где f, g₁, . . . , g_n  это самодвойственные функции, то h = h*.

Воспользуемся теоремой о формуле для двойственной функции. Тогда h* = = = = h, т.е. S  это замкнутый класс.

Лемма (О несамодвойственной функции)

Если f S, то подстановкой вместо переменных этой функции функций x и можно получить одну из функций констант.

Доказательство

Пусть f S. Тогда найдётся таких два противоположных набора и , что f = f . Определим вспомогательные функции:

, где i =1,..., n.

Тогда функция h(x) = f( совпадает с одной из функций констант.

Определим значения h(0) и h(1):

h(0) = f ( = f .

h(1) = f( = f .

Следовательно, h(0) = h(1).

Доказательство окончено.

Замечание. Поскольку функции-константы не являются самодвойственными, то доказанная лемма утверждает, что из любой несамодвойственной функции можно получить простейшую несамодвойственную функцию.

Упражнение. Доказать утверждение, обратное утверждению, сформулированному в лемме о несамодвойственной функции.