Ответы и указания к заданиям для самостоятельной работы

Глава 1

1.1. .

1.2. .

1.3. при четном n, при n нечетном.

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. а) i-ая и j-ая строки произведения поменяются местами; б) к i-ой строке произведения прибавится j-ая строка, умноженная на с; в) i-ый и j-ый столбцы произведения поменяются местами; г) к i-му столбцу произведения прибавится j-ый столбец, умноженный на с.

Глава 2

2.1. 0.

2.2. 1.

2.3. 0.

2.5. 0.

2.6. Решение. Если при любом х, то , , и . Обратно, если , то при имеем , , . При будет а=0 и, полагая , снова имеем , . При получим то же самое, полагая . Поэтому при любых х.

2.7. Указание. Все шесть членов определителя не могут равняться +1, так как тогда произведение трех членов: , , было бы равно произведению трех остальных членов, в то время как первое из этих произведений равно произведению всех девяти элементов определителя, а второе – тому же произведению девяти элементов с противоположным знаком. Далее, убедиться, что определитель отличен от 5 и что

.

2.8. Указание. Показать, что все три положительных члена, входящих в определитель, не могут быть равны 1, и учесть, что

.

2.9. Указание. Смежными транспозициями перевести 1 на первое место, затем 2 на второе место и т.д. Учесть, что одна смежная транспозиция изменяет число инверсий на единицу.

2.10. .

2.11. .

2.12. .

2.14. .

2.15. 90.

Глава 3

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. В матрице соответственно: а) поменяются местами i-ый и j-ый столбцы; б) i-ый умножится на ; в) из j-го столбца вычтется i-ый, умноженный на с. При преобразовании столбцов матрицы А аналогично указанному меняются строки матрицы .

3.9. .

3.15 Указание. Используя линейное выражение всех столбцов матрицы А через столбцы, проходящие через минор d, показать, что если , то строки матрицы А, проходящие через d, линейно зависимы.

Глава 4

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11. Общее решение

Базисное решение

4.12. Система не совместна.

4.13. При система имеет единственное решение

.

При и общее решение

,

где – свободные переменные.

При общее решение имеет вид

,

где – свободная переменная.

4.14. Общее решение

,

где – свободные переменные.

Фундаментальная система решений

4.15. Общее решение

,

где – свободные переменные.

Фундаментальная система решений

Глава 5

5.2. Можно добавить векторы .

5.3. Например .

5.4.

5.5. 3

5.7.

5.8. равен квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах ; равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах .

5.9. .

5.10. .

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.15. УКАЗАНИЕ. При доказательстве необходимости получить равенство В=СА, где С – невырожденная матрица из коэффициентов в выражениях системы (2) через (1). При доказательстве достаточности приписать к матрице А снизу строку координат вектора и, вычисляя ранг методом окаймляющих миноров, показать, что ранг полученной матрицы равен k.