6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т^-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

которая образована из А заменой диагональных элементов a_ij элементами , где – произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент при равен (-1)ⁿ). Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , где А*=Т^-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т^-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице матрицы А* и Е соответственно на Т^-1АТ и Т^-1ЕТ, получаем:

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен .

Алгебраическое уравнение n-й степени называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – след k-го порядка матрицы А.

Следом k-го порядка называется сумма возможных главных миноров k-ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор задан матрицей А. Тогда коэффициенты вычисляются по следующей схеме: