Глава 1. Алгебра матриц

1.1. Матрицы. Основные определения

Матрицей А = ( ) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Числа ( ), составляющие данную матрицу, называются её элементами; i – номер строки матрицы, j – номер столбца.

Если m=n, то матрица называется квадратной порядка n.

Например, – квадратная матрица третьего порядка.

Про элементы такой матрицы говорят, что они стоят на главной диагонали.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю:

,

например, – треугольная матрица третьего порядка

Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей. Диагональные матрицы, в которых все диагональные элементы равны, т.е. , , называются скалярными матрицами.

Если , то скалярная матрица называется единичной и обозначается буквой Е, т.е.:

.

Например, матрицы А, B, E являются соответственно диагональной, скалярной и единичной третьего порядка.

, , .

Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е.

Например, – симметрическая матрица четвертого порядка.

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, – вектором-столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается О.

Например, О – нулевая матрица размера два на три.

1.2 Действия над матрицами

Две матрицы и называются равными, А=В, если их соответствующие элементы равны, т.е. = ,

Суммой двух матриц и называется матрица C=A+B, элементы которой с_ij равны сумме соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц A и B, т.е. . Например,

, , .

Для суммы матриц справедливы следующие свойства:

1. A+B=B+A – коммутативность;

2. A+(B+C)=(A+B)+C – ассоциативность;

3. A+О = A.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. . Например, если , а матрица , то .

Пусть A, B, C – матрицы, – числа. Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. О, 6. .

Матрица называется противоположной матрице A.

Если матрицы A и B одинаковых размеров, то их разность равна .

Произведением матрицы A=(a_ij) порядка на матрицу порядка называется матрица порядка , элементы которой с равны:

, ( ; ).

Из определения произведения матриц следует: чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы С, необходимо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

В результате получится матрица, у которой число строк совпадает с числом строк первого сомножителя, а число столбцов – с числом столбцов второго сомножителя.

Для произведения матриц справедливы следующие свойства:

1. A(BC) = (AB)C	3. (A + B)C = AC + BC
2. (AB) = ( A)B	4. C(A+B) = CA + CB

Эти свойства легко доказываются на основе соответствующих определений.

Произведение двух матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ ВА. В случае прямоугольных матриц легко подобрать примеры, когда одно из этих произведений не будет существовать из-за невыполнения условия равенства числа столбцов сомножителя, стоящего первым, числу строк второго сомножителя. Очевидно, что для квадратных матриц порядка n существуют АВ и ВА. Однако для всех n, начиная с n=2, можно привести примеры некоммутативных (неперестановочных) матриц.

Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц:

А = , В = .

Решение.

;

Пример. Найти произведение матриц А и В.

, .

Решение.

Если АВ = ВА, то матрицы и В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем АЕ = ЕА = А.

Скалярная матрица может быть представлена в виде произведения элемента матрицы, стоящего на ее главной диагонали, на единичную матрицу того же порядка:

А = Е.

Легко видеть, что произведение любой квадратной матрицы на скалярную матрицу того же порядка коммутативно.

Квадратную матрицу А можно возвести в степень n , для чего ее надо умножить на саму себя n раз, т.е. .

Транспонирование матрицы – это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами:

Транспонированная матрица обладает следующими свойствами, которые следуют из определения:

1. (А ) =А;

2. (А+В) =А +B ;

3. (AB) =B A .

Если матрица А – симметрическая, то А =А, т.е. симметрическая матрица совпадает со своей транспонированной.

Очевидно, что произведение С=АА представляет собой симметрическую матрицу. Действительно,

С = (АА ) =(А ) А =АА =С.

При этом А может быть и прямоугольной матрицей произвольного порядка, С же будет квадратной, порядка, соответствующего числу строк матрицы А.

В различных приложениях используется понятие нормы матрицы.

Под нормой матрицы А= понимается действительное число ||A||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A|| 0, причем ||A|| = 0 тогда и только тогда, когда А=О;

б) || A||=| | ||A||, ( – число) и, в частности ||-A||=||A||;

в) ||A+B|| ||A||+||B||;

г) ||AB|| ||A|| ||B||,

где А и В – матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.

Для матрицы А=(а ) произвольного типа рассматриваются главным образом три вида норм:

1) ||A|| =	(m – норма);
2) ||A|| =	(l – норма);
3) ||A|| =	(k – норма).

Все они удовлетворяют перечисленным выше условиям.