5.6. Евклидово пространство

n-мерное векторное пространство Е_n называется евклидовым, если каждой паре векторов и из Е поставлено в соответствие вещественное число ( , ), называемое скалярным произведением, при чем это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам:

I. Линейности по первому аргументу

;

II. Симметрии

;

III. Положительной определенности

, при

и тогда и только тогда, когда .

Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу

Примеры.

1. Векторами пространства E_n является любая упорядоченная система n действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определены в п.5.1, а скалярное произведение векторов и определим формулой .

Легко убедиться в том, что аксиомы I-III действительно выполняются.

2. Рассмотрим более общий случай. Вектор по-прежнему определим как упорядоченную совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на число определим так же, как в примере 1.

Зададимся некоторой квадратной матрицей А=(a_ij)_n,n, Скалярное произведение векторов и определим формулой

(5.6.1)

Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам I-Ш.

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиома I выполняется для любой матрицы А=(a_ij)_n,n. Для того, чтобы была выполнена аксиома II, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно и , необходимо и достаточно, чтобы , т.е. чтобы матрица А=(a_ij)_n,n, была симметричной.

Аксиома III требует, чтобы выражение

(5.6.2)

было неотрицательно для любых и обращалось в нуль лишь если .

Однородный многочлен (квадратичная форма), определяемый формулой (5.6.2), называется положительно определенным, если он принимает неотрицательные значения и обращается в нуль, только тогда, когда все равны нулю. Следовательно, аксиома III требует, чтобы квадратичная форма (5.6.2) была положительно определенной. Таким образом, всякая матрица А=(a_ij)_n,n задает скалярное произведение в Е_n, определяемое формулой (5.6.1), если только эта матрица симметричная и соответствующая ей квадратичная форма положительно определенная.

Если а качестве матрицы А=(a_ij)_n,n взять единичную матрицу Е, т.е. положить a_ii=1, а a_ij=0 ( ), то скалярное произведение принимает вид

и мы получаем евклидово пространство, определенное в примере 1.

3. Векторами пространства Е_n будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а,b). Скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

.

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы I-III выполнены.

С помощью введенного понятия скалярного произведения определим длину вектора и угол между векторами.

Определение. Нормой (длиной) вектора в Е_n называется корень квадратный из этого скалярного произведения:

.

Векторы и , скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

В любом евклидовом пространстве Е_n верна «теорема Пифагора»: если и ортогональны, то

.

Определение. Угол между ненулевыми векторами и определяется равенством

.

Можно доказать, что в любом пространстве Е_n справедливо неравенство Коши-Буняковского:

,

откуда следует, что

или, что то же самое,

Это означает, что косинус угла между векторами из Е_n по модулю, не превосходит единицы. Если и – ненулевые векторы из Е_n, то ортогональность означает, что угол между ними равен . Ненулевой вектор пространства Е_n, называется нормированным если его норма равна единице. Любой ненулевой вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть – ненулевой вектор. Тогда и достаточно взять таким, чтобы

Число называется нормирующим множителем для вектора .

Определение. Система векторов пространства Е_n называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице, т.е. если

.

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов пространства Е_n линейно независима.

Доказательство. Пусть ненулевые векторы попарно ортогональны. Тогда .

Покажем, что векторное равенство

(5.6.3)

выполняется тогда и только тогда, когда . Умножим обе части равенства (5.6.3) скалярно на . Получим

из условия ортогональности векторов имеем

, , .

Следовательно, . Аналогично, умножая (5.6.3) на , получим что и т.д. Таким образом, мы доказали, что линейно независимы.

Рассмотрим процесс ортогонализации векторов. Он состоит в том, что из заданных линейно независимых векторов строятся m попарно ортогональных векторов . Положим . Вектор будем искать в виде . Число следует подобрать так, чтобы векторы и были ортогональны, т.е. , откуда .

Допустим теперь, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы уже построены. Вектор ищем в виде:

,

т.е. вектор мы получаем из вектора «исправлением» его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов . Коэффициенты находим из условия ортогональности вектора к векторам :

(5.6.4)

Так как векторы попарно ортогональны, то из равенств (5.6.4) получаем

,

,

……………………………

,

откуда

.

Докажем теперь, что построенный вектор отличен от нуля. Вектор есть линейная комбинация векторов . Но вектор можно заменить линейной комбинацией вектора и векторов и т.д. Окончательно мы получаем, что вектор записывается в виде

(5.6.5)

откуда следует, что . Действительно, в противном случае левая часть равенства (5.6.5) была бы равна , что противоречит линейной независимости векторов (коэффициент при равен единице). Таким образом, доказано, что . По векторам и построен вектор . Таким же образом, по векторам , можно построить вектор . Продолжая этот процесс, можно по заданной системе n линейно независимых векторов в Е_n построить систему n ненулевых ортогональных векторов. Докажем следующую теорему.

Теорема. Во всяком евклидовом пространстве Е_n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. По определению n-мерного векторного пространства в нем существует некоторый базис . С помощью процесса ортогонализации из него можно построить ортогональный базис . Если теперь каждый вектор разделить на его норму, то получится ортонормированный базис, образованный векторами

.

Найдем выражение скалярного произведения в координатах. Пусть произвольный базис пространства Е_n и

,

.

Тогда

.

Если – нормированный базис, то , а, значит . И обратно, если в базисе скалярное произведение векторов и равно , то этот базис ортонормированный, так как в этом случае и . Если в некотором базисе скалярное произведение , то этот базис ортонормированный.

Пусть – ортонормированный базис в Е_n и . Умножив обе части последнего равенства скалярно на получим , т.е. i-я координата вектора в ортонормированном базисе равна скалярному произведению на единичный вектор . Это скалярное произведение называется ортогональной проекцией вектора на вектор . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на базисные векторы.

Определим в пространстве Е_n расстояние между векторами. Расстояние между векторами и определяется как норма вектора :

.

Из определения расстояния следует, что

1) ;

2) ;

3) ;

4) для любых из .

Пример. По заданной в Е_n системе линейно независимых векторов построить ортонормированный базис.

Решение. Полагаем . Вектор будем находить в виде: , где коэффициент

.

Тогда .

Находим вектор .

.

Находим нормы векторов .

Нормируем векторы . Получим ортонормированный базис: