Свойства кривых Безье
1) Инвариантность относительно аффинных преобразований;
2) Инвариантность относительно линейных замен параметризации;
Кривая Безье принадлежит выпуклой оболочке опорных точек (следует из геометрического способа построения);
Следствие: Если все опорные точки лежат на одной прямой, то кривая Безье вырождается в отрезок, соединяющий эти точки.
4) Кривая Безье проходит через
и
;
5) Симметричность: если рассматривать контрольные точки в противоположном порядке, то кривая не измениться;
6) Степень многочлена, представляющего кривую в аналитическом виде на 1 меньше числа опорных точек;
7) Векторы касательных в точках
и
коллинеарны
и
,соответственно.
Замечание:
Хотя все выкладки проводились в
,
аналогичные построения и свойства
справедливы и в
.
Визуализация кривых Безье
1) Прямой метод
Рис. 8. Построение кривых Безье прямым методом.
|
Подберем шаг dt так, чтобы dx и dy были <1 (т.е. мы не пропустим ни одного пиксела).
Алгоритм: t=0; while(t≤1) { x=x(t); y=y(t); plot(x,y); t+=dt; }
Недостаток: при малых смещениях по x и y много итераций проходит зря. |
,
(Точную формулу см. выше)
и
-
многочлены, соответственно легко
найти их максимумы
и
.
Положим
=max
(
,
),
тогда взяв
,
получим что смещения по x
и по y при каждом шаге
не превосходят 1.Метод разбиения (subdivision)
Рис. 9. Построение кривой Безье методом разбиения.
|
Предложен de Casteljau.
Если
рассмотреть участок между
|
и
,
взятых для t=0,5, то он
может быть задан как кривая Безье с
опорными точками
,
аналогичные рассуждения справедливы
и для участка между
и
.
Таким образом будем применять этот
алгоритм рекурсивно для левой и правой
частей, пока размер кривой не станет
меньше размера пиксела.Алгоритм:
PutPixel(
);
PutPixel( );
DrawCurve
(
)
{
// Проверка на завершение
if ( BBox( ) < pixelsize ) return;
if ( - прямая линия с точностью до пиксела )
{
Нарисовать эту линию;
return;
}
Найти
;
PutPixel(
);
// Нарисовать половинки
DrawCurve(
);
DrawCurve(
);
}
2) Сплайны, составленные из кривых Безье
Рис. 10. Состыкованные кубические кривые Безье.
Д
ля
упрощения будем считать, что параметризация
равномерная, т.е. длины отрезков, которые
пробегает параметр на каждом из участков,
равны.
Для того чтобы рассмотреть условия на и , необходимо найти производные кривых Безье:
,
где
Ограничимся в рассмотрении кубическими кривыми Безье, которые более всего распространены.
1) Требование
Рис. 11. Стыковка с требованием |
Пусть заданы значение производных на концах: m0 и m1 :
Таким образом, для того, чтобы в точках стыковки производные были равны необходимо, чтобы
|
,
т.е. :
2) Требование
Рис. 12. Стыковка с требованием . |
Из требования
в точках стыковки получаем
Распространяя эти
рассуждения на все точки стыковки,
получаем, что для задания формы такого
сплайна достаточно задать точки
|
=
.
Далее , из требования
следует равенство
, и так как
получаются сложением соответствующих
векторов по правилу параллелограмма,
то
││
и, если обозначить точку пересечения
и
как
,
то получим, что
- средняя линия треугольника
,
где k = 3i , i
,
где n+1 - число опорных точек и краевые
точки
и
(см. Рис. 13)
Рис. 13. Связь между точками для соседних сегментов. |
Замечание: Для замкнутой кривой задание краевых точек не нужно.
|
